题目

1.试求下列极限(包括非正常极限):-|||-(1) lim _((x,y))(0,0)dfrac ({x)^2(y)^2}({x)^2+(y)^2} ;-|||-(2) lim _((x,y)arrow (0,0))dfrac (1+{x)^2+(y)^2}({x)^2+(y)^2} ;-|||-(3) lim _((x,y)arrow (0,0))dfrac ({x)^2+(y)^2}(sqrt {1+{x)^2+(y)^2}-1} ;-|||-(4) lim _((x,y)arrow (0,0))dfrac (xy+1)({x)^4+(y)^4} ;-|||-(5) lim _((x,y)arrow (1,2))dfrac (1)(2x-y)-|||-(6) lim _((x,y)arrow (0,0))(x+y)sin dfrac (1)({x)^2+(y)^2} ;-|||-(7) lim _((x,y)arrow (0,0))dfrac (sin ({x)^2+(y)^2)}({x)^2+(y)^2}

题目解答

知识考察与解题思路

本题主要考察二元函数极限的计算，包括利用不等式放缩、变量替换、无穷小性质等方法，涵盖正常极限（有限值）和非正常极限（无穷大）的判定。

题目详解

(1) $\lim _{(x,y)\rightarrow (0,0)}\dfrac{x^2y^2}{x^2+y^2}$

思路：利用不等式放缩。由均值不等式 $x^2+y^2 \geq 2|xy|$，得 $\frac{1}{x^2+y^2} \leq \frac{1}{2|xy|}$（$x,y \neq 0$）。
计算：
$0 \leq \frac{x^2y^2}{x^2+y^2} \leq \frac{x^2y^2}{2|xy|} = \frac{|xy|}{2} \rightarrow 0$（当$(x,y)\rightarrow(0,0)$时）。
由夹逼准则，极限为$0$。

(2) $\lim _{(x,y)\rightarrow (0,0)}\dfrac{1+x^2+y^2}{x^2+y^2}$

思路：拆分表达式。原式$=\frac{1}{x^2+y^2} + 1$。
计算：当$(x,y)\rightarrow(0,0)$时，$x^2+y^2 \rightarrow 0^+$，故$\frac{1}{x^2+y^2} \rightarrow +\infty$，从而原式$=+\infty$。

(3) $\lim _{(x,y)\rightarrow (0,0)}\dfrac{x^2+y^2}{\sqrt{1+x^2+y^2}-1}$

思路：有理化分母。分子分母同乘$\sqrt{1+x^2+y^2}+1$，化简得：
$\frac{(x^2+y^2)(\sqrt{1+x^2+y^2}+1)}{(1+x^2+y^2)-1} = \sqrt{1+x^2+y^2}+1$。
计算：当$(x,y)\rightarrow(0,0)$时，$x^2+y^2 \rightarrow 0$，故原式$=\sqrt{1}+1=2$。

(4) $\lim _{(x,y)\rightarrow (0,0)}\dfrac{xy+1}{x^4+y^4}$

思路：放缩分母与分子。当$(x,y)$接近$(0,0)$时，$x^4+y^4 \leq x^2+y^2$（因$x^4 \leq x^2$，$y^4 \leq y^2$），且$|xy| \leq \frac{x^2+y^2}{2}$。
计算：
$\frac{xy+1}{x^4+y^4} \geq \frac{1 - |xy|}{x^2+y^2} \geq \frac{1 - \frac{x^2+y^2}{2}}{x^2+y^2} = \frac{1}{x^2+y^2} - \frac{1}{2} \rightarrow +\infty$（当$(x,y)\rightarrow(0,0)$时），故极限为$+\infty$。

(5) $\lim _{(x,y)\rightarrow (1,2)}\dfrac{1}{2x-y}$

(6) $\lim _{(x,y)\rightarrow (0,0)}(x+y)\sin\frac{1}{x^2+y^2}$

思路：无穷小乘有界函数。$|\sin\frac{1}{x^2+y^2}| \leq 1$（有界），且$|x+y| \leq \sqrt{2(x^2+y^2)} \rightarrow 0$（当$(x,y)\rightarrow(0,0)$时）。
计算：$|(x+y)\sin\frac{1}{x^2+y^2}| \leq |x+y| \rightarrow 0$，故极限为$0$。

(7) $\lim _{(x,y)\rightarrow (0,0)}\dfrac{\sin(x^2+y^2)}{x^2+y^2}$

思路：变量替换。令$t=x^2+y^2$，则当$(x,y)\rightarrow(0,0)$时，$t\rightarrow0^+$，原式转化为$\lim_{t\rightarrow0^+}\frac{\sin t}{t}$。
计算：$\lim_{t\rightarrow0}\frac{\sin t}{t}=1$，故原式$=1$。