3.学生在做一道有4个可选答案的单项选择题,如果他不知道正确答案时就随-|||-机猜测。假设该学生知道正确答案的概率为0.2。现从卷面上看该题答对了,则在-|||-此情形下该学生确实知道正确答案的概率是-|||-A.0.4-|||-B.0.5-|||-C.0.6-|||-D.0.7

考查要点：本题主要考查条件概率的应用，特别是贝叶斯定理的理解与运用。需要学生根据已知条件，计算在特定情况下某事件发生的概率。

解题核心思路：

1. 明确事件关系：学生答对题目可能有两种情况——“知道答案”或“不知道答案但随机猜对”。
2. 构建概率树：分别计算两种情况下答对的概率，再结合贝叶斯定理求解后验概率。
3. 关键公式：
   $P(\text{知道|答对}) = \frac{P(\text{答对|知道}) \cdot P(\text{知道})}{P(\text{答对})}$
   其中，分母需通过全概率公式展开。

破题关键点：

• 区分先验概率与后验概率：题目中“知道答案的概率0.2”是先验概率，而“答对后求知道答案的概率”是后验概率。
• 正确计算总答对概率：需考虑所有可能途径（知道或不知道）导致答对的情况。

步骤1：定义事件与已知条件

• 事件A：学生知道正确答案，概率为 $P(A) = 0.2$。
• 事件B：学生答对题目。
• 事件$\neg A$：学生不知道正确答案，概率为 $P(\neg A) = 1 - 0.2 = 0.8$。
• 条件概率：
  • 若知道答案，则一定答对，即 $P(B|A) = 1$。
  • 若不知道答案，随机猜对的概率为 $\frac{1}{4} = 0.25$，即 $P(B|\neg A) = 0.25$。

步骤2：计算总答对概率 $P(B)$

根据全概率公式：
$\begin{aligned}P(B) &= P(B|A) \cdot P(A) + P(B|\neg A) \cdot P(\neg A) \\&= 1 \cdot 0.2 + 0.25 \cdot 0.8 \\&= 0.2 + 0.2 = 0.4.\end{aligned}$

步骤3：应用贝叶斯定理

求后验概率 $P(A|B)$：
$\begin{aligned}P(A|B) &= \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)} \\&= \frac{1 \cdot 0.2}{0.4} \\&= \frac{0.2}{0.4} = 0.5.\end{aligned}$