题目
设连续型随机变量X的分布函数 F(x)= } 0, & x leq 0 x^2, & 0
设连续型随机变量X的分布函数 $F(x)= \begin{cases} 0, & x \leq 0 \\ x^2, & 0 < x < 1 \\ 1, & x \geq 1 \end{cases}$ 下列选项中正确的是(）。
A. $P\{0.3 < X < 0.7\} = 0.6 $
B. $P\{0.3 < X < 0.7\} = 0.5 $
C. $P\{0.3 < X < 0.7\} = 0.4 $
D. $P\{0.3 < X < 0.7\} = 0 $
题目解答
答案
C. $P\{0.3 < X < 0.7\} = 0.4 $
解析
步骤 1：确定分布函数 $F(x)$ 的形式
根据题目给出的分布函数 $F(x)$，我们看到它在 $0 < x < 1$ 的区间内是 $x^2$ 的形式。这意味着在该区间内，$F(x)$ 是一个二次函数，且在 $x=0$ 和 $x=1$ 处分别取值为 $0$ 和 $1$。
步骤 2：计算 $P\{0.3 < X < 0.7\}$
为了计算 $P\{0.3 < X < 0.7\}$，我们需要利用分布函数 $F(x)$。根据分布函数的性质，$P\{a < X < b\} = F(b) - F(a)$。因此，我们需要计算 $F(0.7)$ 和 $F(0.3)$，然后相减。
步骤 3：计算 $F(0.7)$ 和 $F(0.3)$
根据分布函数 $F(x)$ 的定义，当 $0 < x < 1$ 时，$F(x) = x^2$。因此，$F(0.7) = 0.7^2 = 0.49$，$F(0.3) = 0.3^2 = 0.09$。
步骤 4：计算 $P\{0.3 < X < 0.7\}$
根据步骤 2 和步骤 3 的结果，$P\{0.3 < X < 0.7\} = F(0.7) - F(0.3) = 0.49 - 0.09 = 0.4$。
根据题目给出的分布函数 $F(x)$，我们看到它在 $0 < x < 1$ 的区间内是 $x^2$ 的形式。这意味着在该区间内，$F(x)$ 是一个二次函数，且在 $x=0$ 和 $x=1$ 处分别取值为 $0$ 和 $1$。
步骤 2：计算 $P\{0.3 < X < 0.7\}$
为了计算 $P\{0.3 < X < 0.7\}$，我们需要利用分布函数 $F(x)$。根据分布函数的性质，$P\{a < X < b\} = F(b) - F(a)$。因此，我们需要计算 $F(0.7)$ 和 $F(0.3)$，然后相减。
步骤 3：计算 $F(0.7)$ 和 $F(0.3)$
根据分布函数 $F(x)$ 的定义，当 $0 < x < 1$ 时，$F(x) = x^2$。因此，$F(0.7) = 0.7^2 = 0.49$，$F(0.3) = 0.3^2 = 0.09$。
步骤 4：计算 $P\{0.3 < X < 0.7\}$
根据步骤 2 和步骤 3 的结果，$P\{0.3 < X < 0.7\} = F(0.7) - F(0.3) = 0.49 - 0.09 = 0.4$。