题目

已知向量组0 underline (1) -1 1 3-|||-A:a1= 1 a2= 1 :B:(b)_(1)= 0 b2= 2 ,b3= 2-|||-1 0 underline (1) 1 -1证明向量组0 underline (1) -1 1 3-|||-A:a1= 1 a2= 1 :B:(b)_(1)= 0 b2= 2 ,b3= 2-|||-1 0 underline (1) 1 -1与向量组0 underline (1) -1 1 3-|||-A:a1= 1 a2= 1 :B:(b)_(1)= 0 b2= 2 ,b3= 2-|||-1 0 underline (1) 1 -1等价.

已知向量组

$A:a_1=\begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 1\\ \end{pmatrix}，a_2=\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 0\\ \end{pmatrix}; B:b_1=\begin{pmatrix} -1\\ 0\\ 1\\ \end{pmatrix},b_2=\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 1\\ \end{pmatrix},b_3=\begin{pmatrix} 3\\ 2\\ -1\\ \end{pmatrix},$ 证明向量组 $A$ 与向量组 $B$ 等价.

题目解答

答案

解：令 $A=\left(a_1,a_2\right),B=\left(b_1,b_2,b_3\right),$ 则

$(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B})=\begin{bmatrix}0&1&-1&1&3\\1&1&0&2&2\\1&0&1&1&-1\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}1&1&0&2&2\\0&1&-1&1&3\\0&0&0&0&0\end{bmatrix},$ 所以 $R(A)=R(A,B)=2,$ 而B有二阶子式 $\left|\begin{array}{cc}1&3\\2&2\end{array}\right|=-4\neq0,$ 所以 $R(B)\geqslant2.$ 另外 $,$ $R(B)\leqslant R(A,B)=2,$ 所以 $R(\boldsymbol{B})=2,$ 从而有 $R(A)=R(B)=R(A,B),$ 所以 $A$ 组与 $B$ 组等价.

解析

步骤 1：构造矩阵
构造矩阵$A=({a}_{1},{a}_{2})$和$B=({b}_{1},{b}_{2},{b}_{3})$，其中${a}_{1},{a}_{2}$是向量组的向量，${b}_{1},{b}_{2},{b}_{3}$是向量组的向量。
步骤 2：构造增广矩阵
构造增广矩阵$(A,B)$，并进行初等行变换，以简化矩阵。
步骤 3：计算秩
计算矩阵$A$、增广矩阵$(A,B)$和矩阵$B$的秩，以确定向量组的线性相关性。
步骤 4：验证等价性
根据秩的计算结果，验证向量组与向量组的等价性。