[题目]设区域 = (x,y)|{x)^2+(y)^2leqslant 1,xgeqslant 0} , 计算二重-|||-积分 int Ddfrac (1+xy)(1+{x)^2+(y)^2} dxdy.

考查要点：本题主要考查二重积分的对称性应用及极坐标变换法。

解题核心思路：

1. 拆分被积函数：将积分拆分为两个部分，利用对称性简化计算。
2. 对称性分析：观察到被积函数中的$xy$项在对称区域上的积分为零。
3. 极坐标变换：将剩余部分转换为极坐标，简化积分计算。

破题关键点：

• 对称性判断：区域$D$关于$y$轴对称，$xy$为奇函数，积分结果为零。
• 极坐标转换：利用极坐标下$x^2 + y^2 = r^2$的特性，简化分母表达式。

步骤1：拆分被积函数
将原积分拆分为两部分：
$\iint_D \frac{1+xy}{1+x^2+y^2} \,dx\,dy = \iint_D \frac{1}{1+x^2+y^2} \,dx\,dy + \iint_D \frac{xy}{1+x^2+y^2} \,dx\,dy.$

步骤2：利用对称性简化

• 分析$\iint_D \frac{xy}{1+x^2+y^2} \,dx\,dy$：
  区域$D$关于$y$轴对称，对任意$(x,y) \in D$，点$(x,-y) \in D$。
  由于$xy$在$y$方向为奇函数，积分结果为$0$。

步骤3：极坐标变换

• 转换$\iint_D \frac{1}{1+x^2+y^2} \,dx\,dy$：
  区域$D$在极坐标下表示为$r \in [0,1]$，$\theta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$，雅可比行列式为$r$。
  积分变为：
  $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \int_0^1 \frac{1}{1+r^2} \cdot r \,dr\,d\theta.$

步骤4：计算积分

• 对$r$积分：
  $\int_0^1 \frac{r}{1+r^2} \,dr = \frac{1}{2} \ln(1+r^2) \Big|_0^1 = \frac{1}{2} \ln 2.$
• 对$\theta$积分：
  $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} d\theta = \pi.$
• 最终结果：
  $\pi \cdot \frac{1}{2} \ln 2 = \frac{\pi}{2} \ln 2.$