10.单选题当x→0时，tan(a)/(3)xsimsin2x，则a=（）。A. (1)/(4)B. 6C. (1)/(2)D. -2

本题考查等价无穷小的概念及应用。解题思路是根据等价无穷小的定义，当$x\to0$时，若$\alpha(x)\sim\beta(x)$，则$\lim\limits_{x\to0}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 1$。对于本题，已知当$x\to0$时，$\tan\frac{a}{3}x\sim\sin2x$，那么就可以通过计算$\lim\limits_{x\to0}\frac{\tan\frac{a}{3}x}{\sin2x}$并令其等于$1$来求解$a$的值。

下面进行详细计算：

• 步骤一：利用等价无穷小替换
  当$x\to0$时，$\tan x\sim x$，$\sin x\sim x$。
  所以当$x\to0$时，$\tan\frac{a}{3}x\sim\frac{a}{3}x$，$\sin2x\sim2x$。
• 步骤二：计算极限
  将等价无穷小代入原式可得：
  $\lim\limits_{x\to0}\frac{\tan\frac{a}{3}x}{\sin2x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{\frac{a}{3}x}{2x}$
  此时$x$可以约去，得到$\lim\limits_{x\to0}\frac{\frac{a}{3}}{2}$。
  因为$\frac{\frac{a}{3}}{2}$是一个常数，所以$\lim\limits_{x\to0}\frac{\frac{a}{3}}{2}=\frac{\frac{a}{3}}{2}$。
• 步骤三：求解$a$的值
  由于$\tan\frac{a}{3}x\sim\sin2x$，根据等价无穷小的定义可知$\lim\limits_{x\to0}\frac{\tan\frac{a}{3}x}{\sin2x} = 1$，即$\frac{\frac{a}{3}}{2}=1$。
  等式两边同时乘以$2$可得$\frac{a}{3}=2$，再等式两边同时乘以$3$，解得$a = 6$。