指出下面微分方程的阶数，并回答方程是否是线性的：(1) (dy)/(dx) = 4x^2 - y;(2) (d^2 y)/(dx^2) - ((dy)/(dx))^2 + 12xy = 0;(3) ((dy)/(dx))^2 + x (dy)/(dx) - 3y^2 = 0;

我们逐个分析下面三个微分方程的阶数和线性性。

(1)

$\frac{dy}{dx} = 4x^2 - y$

阶数分析：

这个方程中出现的最高阶导数是 一阶导数 $\frac{dy}{dx}$，所以：

• 阶数：1阶

线性性分析：

一个微分方程是线性的，当且仅当：

• 未知函数 $y$ 及其各阶导数都只以一次幂出现；
• 且不与其他导数或自身相乘；
• 系数可以是自变量 $x$ 的函数。

观察方程：
$\frac{dy}{dx} + y = 4x^2$
可以整理成标准线性形式。其中：

• $\frac{dy}{dx}$ 是一次，
• $y$ 是一次，
• 没有 $y^2$、$(\frac{dy}{dx})^2$、$y \cdot \frac{dy}{dx}$ 等非线性项。

因此：

• 是线性微分方程

✅ 结论：

• 阶数：1阶
• 线性性：是线性的

(2)

$\frac{d^2 y}{dx^2} - \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + 12xy = 0$

阶数分析：

方程中出现的最高阶导数是 二阶导数 $\frac{d^2 y}{dx^2}$，所以：

• 阶数：2阶

线性性分析：

检查是否线性。注意第二项是 $\left(\frac{dy}{dx}\right)^2$，即一阶导数的平方，这是关于导数的二次项，属于非线性项。

线性方程不允许导数或函数有平方、乘积等形式。

因此，尽管其他项（如 $12xy$）可能是线性的，但因为存在 $(\frac{dy}{dx})^2$，整个方程非线性。

❌ 结论：

• 阶数：2阶
• 线性性：不是线性的

(3)

$\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + x \frac{dy}{dx} - 3y^2 = 0$

阶数分析：

最高阶导数是 $\frac{dy}{dx}$，即一阶导数。

• 阶数：1阶

线性性分析：

检查各项：

• 第一项：$\left(\frac{dy}{dx}\right)^2$ → 导数的平方 → 非线性
• 第三项：$-3y^2$ → 函数 $y$ 的平方 → 非线性

虽然第二项 $x \frac{dy}{dx}$ 是线性的形式，但由于存在平方项，整体方程非线性。

❌ 结论：

• 阶数：1阶
• 线性性：不是线性的

✅ 最终答案总结：

(1)

• 阶数：$\boxed{1}$
• 是否线性：$\boxed{\text{是}}$

(2)

• 阶数：$\boxed{2}$
• 是否线性：$\boxed{\text{否}}$

(3)

• 阶数：$\boxed{1}$
• 是否线性：$\boxed{\text{否}}$