求下列极限：lim _(narrow infty )(dfrac (1)(sqrt {{n)^2+1}}+dfrac (1)(sqrt {{n)^2+2}}+... +dfrac (1)(sqrt {{n)^2+n}}).

考查要点：本题主要考查数列极限的计算，特别是利用夹逼准则（夹挤定理）处理和式极限的能力。

解题核心思路：

1. 观察和式中的每一项形式，发现分母中的根号项可以近似为$n$，但需要严格估计上下界。
2. 构造上下界：通过比较分母的大小关系，将原和式夹在两个易于求极限的表达式之间。
3. 化简边界表达式：利用等价无穷小或分母展开的方法，求出上下界的极限值。
4. 应用夹逼准则：若上下界的极限相同，则原和式的极限也为该值。

破题关键点：

• 正确估计每一项的大小，找到合适的上下界。
• 准确化简边界表达式，特别是处理根号中的$n^2 + k$项。

步骤1：分析和式中的每一项

和式中的通项为$\dfrac{1}{\sqrt{n^2 + k}}$，其中$k$从$1$到$n$。当$n$很大时，$\sqrt{n^2 + k} \approx n$，因此每一项近似为$\dfrac{1}{n}$，整个和式近似为$n \cdot \dfrac{1}{n} = 1$。但需严格证明。

步骤2：构造上下界

• 下界：当$k$取最大值$n$时，分母$\sqrt{n^2 + n}$最大，因此每一项最小。和式下界为：
  $\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{n^2 + n}} = n \cdot \dfrac{1}{\sqrt{n^2 + n}}.$
• 上界：当$k$取最小值$1$时，分母$\sqrt{n^2 + 1}$最小，因此每一项最大。和式上界为：
  $\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{n^2 + 1}} = n \cdot \dfrac{1}{\sqrt{n^2 + 1}}.$

步骤3：化简上下界

• 下界化简：
  $\dfrac{n}{\sqrt{n^2 + n}} = \dfrac{n}{n\sqrt{1 + \dfrac{1}{n}}} = \dfrac{1}{\sqrt{1 + \dfrac{1}{n}}}.$
  当$n \to \infty$时，$\dfrac{1}{n} \to 0$，故极限为$1$。

• 上界化简：
  $\dfrac{n}{\sqrt{n^2 + 1}} = \dfrac{n}{n\sqrt{1 + \dfrac{1}{n^2}}} = \dfrac{1}{\sqrt{1 + \dfrac{1}{n^2}}}.$
  当$n \to \infty$时，$\dfrac{1}{n^2} \to 0$，故极限也为$1$。

步骤4：应用夹逼准则

由于原和式满足：
$\dfrac{n}{\sqrt{n^2 + n}} < \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{n^2 + k}} < \dfrac{n}{\sqrt{n^2 + 1}},$
且上下界的极限均为$1$，根据夹逼准则，原和式的极限为$1$。