题目
设向量组 a_1, a_2, dotsc ,a_m ，其一个极大线性无关组为 a_(r_1), a_(r_2), dotsc ,a_(r_s)，则以下说法错误的是 A. 对任意 i=1,2, dotsc ,m ，向量 alpha_i 均可由向量组 a_(r_1), a_(r_2), dotsc ,a_(r_s)线性表出 B. 向量组 alpha_1, alpha_2, dotsc ,alpha_m 与向量组 a_(r_1), a_(r_2), dotsc ,a_(r_s)等价 C. 对任意 i=1,2, dotsc ,m ，向量组 alpha_i, a_(r_1), a_(r_2), dotsc ,a_(r_s)线性相关 D. 可能存在某个向量 alpha_i (i=1,2, dotsc ,m )，该向量不能由向量组 a_(r_1), a_(r_2), dotsc ,a_(r_s)线性表出
$$ 设向量组 $a\_1, a\_2, \dotsc ,a\_m $，其一个极大线性无关组为 $a_{r\_1}, a_{r\_2}, \dotsc ,a_{r\_s}$，则以下说法错误的是 $$
- A. $$ 对任意 $i=1,2, \dotsc ,m $，向量 $\alpha\_i $均可由向量组 $a_{r\_1}, a_{r\_2}, \dotsc ,a_{r\_s}$线性表出 $$
- B. $$ 向量组 $\alpha\_1, \alpha\_2, \dotsc ,\alpha\_m $与向量组 $a_{r\_1}, a_{r\_2}, \dotsc ,a_{r\_s}$等价 $$
- C. $$ 对任意 $i=1,2, \dotsc ,m $，向量组 $\alpha\_i, a_{r\_1}, a_{r\_2}, \dotsc ,a_{r\_s}$线性相关 $$
- D. $$ 可能存在某个向量 $\alpha\_i $($i=1,2, \dotsc ,m $)，该向量不能由向量组 $a_{r\_1}, a_{r\_2}, \dotsc ,a_{r\_s}$线性表出 $$
题目解答
答案
D
解析
考查要点：本题主要考查极大线性无关组的定义及其性质，重点在于理解极大线性无关组与原向量组之间的关系。
解题核心思路：
- 极大线性无关组的定义：极大线性无关组是原向量组的一个最大线性无关子集，且原向量组中每个向量均可由该子集线性表出。
- 等价向量组：若两个向量组可以互相线性表出，则它们等价。
- 线性相关性：极大线性无关组添加原向量组中的任意向量后必然线性相关。
破题关键点：
- 选项D的矛盾点：极大线性无关组的定义直接排除了存在无法被表出的向量，因此D的说法与定义矛盾。
极大线性无关组的性质：
- 可表出性：原向量组中每个向量均可由极大线性无关组线性表出。
- 极大性：添加原向量组中的任意向量后，向量组必然线性相关。
- 等价性：原向量组与极大线性无关组等价。
选项分析：
- 选项A：正确。根据极大线性无关组的定义，所有原向量均可被表出。
- 选项B：正确。原向量组与极大线性无关组可互相表出，因此等价。
- 选项C：正确。极大线性无关组已极大，添加任意向量必相关。
- 选项D：错误。极大线性无关组的定义保证所有原向量均可被表出，因此不存在无法被表出的向量。