[2004年] 设n阶矩阵A与B等价,则必有( ).A. 当|A|=a(a≠0)时,|B|=aB. 当|A|=a(a≠0)时,|B|=-aC. 当|A|≠0时,|B|=0D. 当|A|=0时,|B|=0

矩阵等价的定义是存在可逆矩阵$P$和$Q$，使得$PAQ = B$。等价矩阵的秩相等，但行列式不一定相等。

• 关键点：若$|A|=0$，说明$A$秩不足；而等价矩阵秩相同，故$B$的秩也不足，必然有$|B|=0$。
• 错误选项排除：
  • 选项A、B错误，因初等变换会改变行列式的值；
  • 选项C错误，因$|A|\neq0$时$B$的行列式也非零。

选项分析

选项D

若$|A|=0$，则$A$秩不足，即$r(A) < n$。
因$A$与$B$等价，故$r(B) = r(A) < n$，即$B$也秩不足，因此$|B|=0$。
结论：选项D正确。

其他选项

• 选项A/B：等价矩阵的行列式可能相差非零常数倍，无法确定符号或具体值。
• 选项C：若$|A|\neq0$，则$A$满秩，$B$也满秩，故$|B|\neq0$，与选项矛盾。