设underset(lim)(x→a)(f（x）-f（a）)/(（x-a）^2)=-1，则在点a处（ ）A. f（x）的导数存在，且f′（a）≠0B. f（x）取得极大值C. f（x）取得极小值D. f（x）的导数不存在

考查要点：本题主要考查导数的定义、极限与极值的关系，以及利用高阶导数判断极值的方法。

解题核心思路：

1. 关键点1：题目给出的极限形式为$\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{(x-a)^2} = -1$，分母为$(x-a)^2$，说明当$x \to a$时，分子$f(x)-f(a)$必须与$(x-a)^2$同阶无穷小，否则极限可能不存在或为无穷大。
2. 关键点2：若$f(x)$在$x=a$处可导，则根据导数定义，$\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(a)$。但题目中的分母是$(x-a)^2$，因此需要通过泰勒展开或等价无穷小分析分子的展开式，从而推导出$f'(a)$和$f''(a)$的值。
3. 关键点3：结合二阶导数的符号，利用极值的第二充分条件判断极值类型。

步骤1：分析分子的展开式
假设$f(x)$在$x=a$处二阶可导，则泰勒展开式为：
$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{1}{2}f''(a)(x-a)^2 + o((x-a)^2).$
代入分子$f(x)-f(a)$得：
$f(x)-f(a) = f'(a)(x-a) + \frac{1}{2}f''(a)(x-a)^2 + o((x-a)^2).$

步骤2：代入极限表达式
将分子代入原极限式：
$\lim_{x \to a} \frac{f'(a)(x-a) + \frac{1}{2}f''(a)(x-a)^2 + o((x-a)^2)}{(x-a)^2}.$
拆分为两项：
$\lim_{x \to a} \left[ \frac{f'(a)}{x-a} + \frac{1}{2}f''(a) + \frac{o((x-a)^2)}{(x-a)^2} \right].$

步骤3：分析极限存在的条件

• 若$f'(a) \neq 0$，则$\frac{f'(a)}{x-a}$在$x \to a$时趋向于$\pm\infty$，导致整体极限不存在，与题目矛盾。因此必须有$f'(a) = 0$。
• 此时极限简化为：
  $\lim_{x \to a} \left[ \frac{1}{2}f''(a) + \frac{o((x-a)^2)}{(x-a)^2} \right] = \frac{1}{2}f''(a).$
  根据题意，该极限等于$-1$，故：
  $\frac{1}{2}f''(a) = -1 \quad \Rightarrow \quad f''(a) = -2.$

步骤4：判断极值类型
根据极值的第二充分条件：

• $f'(a) = 0$且$f''(a) < 0$，说明$x=a$是$f(x)$的极大值点。