9.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为-|||-f(x,y)= ) Axy,0lt xlt 1,0lt ylt 1 0, .-|||-则常数 A= ()-|||-A 1-|||-B 2-|||-C 3-|||-D 4

本题考查二维随机变量概率密度函数的性质：二维随机变量的概率密度函数在整个平面上的二重积分等于1，即$\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dxdy=1$。

解题步骤：：

1. 确定积分区域：根据概率密度$f(x,y)=Axy$仅在$0
2. 计算二重积分：
   $\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dxdy=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}Axy\ dxdy$
3. 分离变量积分：二重积分可分离为两个定积分的乘积：
   $A\int_{0}^{1}x dx\int_{0}^{1}y dy$
4. 计算定积分：
   • $\int_{0}^{1}x dx=\left[\frac{1}{2}x^2\right]_0^1=\frac{1}{2}，\quad\int_{0}^{1}y dy=\left[\frac{1}{2}y^2\right]_0^1=\frac{1}{2}$
5. 求解常数A：
   $A\cdot\frac{12\cdot\frac12=1\implies A\cdot\frac14=1\implies A=4$