题目

19.（1）设甲袋中装有n只白球、m只红球，乙袋中装有N只白球、M只红球.今从甲袋中任意取一只球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一只球.问取到白球的概率是多少？

题目解答

答案

为了求出从乙袋中取到白球的概率，我们需要考虑从甲袋中取出的球的两种可能情况：从甲袋中取出的是白球，或者从甲袋中取出的是红球。然后，我们需要计算在每种情况下从乙袋中取到白球的概率，并将这些概率进行加权平均。让我们一步步来分析： 1. **从甲袋中取出白球的概率：** 甲袋中总共有 $n + m$ 只球，其中 $n$ 只是白球。因此，从甲袋中取出白球的概率是： \[ \frac{n}{n+m} \] 2. **如果从甲袋中取出的是白球，那么从乙袋中取到白球的概率：** 如果从甲袋中取出的是白球并放入乙袋中，那么乙袋中现在有 $N+1$ 只白球和 $M$ 只红球，总共 $N+M+1$ 只球。从乙袋中取出白球的概率是： \[ \frac{N+1}{N+M+1} \] 3. **从甲袋中取出红球的概率：** 甲袋中总共有 $n + m$ 只球，其中 $m$ 只是红球。因此，从甲袋中取出红球的概率是： \[ \frac{m}{n+m} \] 4. **如果从甲袋中取出的是红球，那么从乙袋中取到白球的概率：** 如果从甲袋中取出的是红球并放入乙袋中，那么乙袋中现在有 $N$ 只白球和 $M+1$ 只红球，总共 $N+M+1$ 只球。从乙袋中取出白球的概率是： \[ \frac{N}{N+M+1} \] 5. **总概率：** 从乙袋中取到白球的总概率是两种情况概率的加权平均： \[ \left( \frac{n}{n+m} \right) \left( \frac{N+1}{N+M+1} \right) + \left( \frac{m}{n+m} \right) \left( \frac{N}{N+M+1} \right) \] 我们可以将这个表达式简化为： \[ \frac{n(N+1) + mN}{(n+m)(N+M+1)} \] 因此，从乙袋中取到白球的概率是： \[ \boxed{\frac{n(N+1) + mN}{(n+m)(N+M+1)}} \]

解析

考查要点：本题主要考查条件概率的应用，以及全概率公式的理解。需要学生根据事件发生的先后顺序，分情况讨论并综合计算概率。

解题核心思路：

分情况讨论：从甲袋取出的球可能是白球或红球，这两种情况会影响乙袋的球数分布。
计算每种情况下的概率：分别求出甲袋取出白球/红球的概率，以及对应情况下乙袋取出白球的概率。
加权求和：将两种情况的概率按权重（甲袋取出对应颜色球的概率）相加，得到最终结果。

破题关键点：

明确事件顺序：甲袋→乙袋的操作会改变乙袋的球数，需分步处理。
正确计算每一步的概率，尤其是乙袋在不同情况下的白球数量变化。

步骤1：计算甲袋取出白球的概率
甲袋共有 $n + m$ 只球，其中白球 $n$ 只，因此概率为：
$P(\text{甲取白}) = \frac{n}{n + m}$

步骤2：若甲取出白球，乙袋中白球数变为 $N + 1$
此时乙袋总球数为 $N + M + 1$，取出白球的概率为：
$P(\text{乙取白 | 甲取白}) = \frac{N + 1}{N + M + 1}$

步骤3：计算甲袋取出红球的概率
甲袋红球 $m$ 只，因此概率为：
$P(\text{甲取红}) = \frac{m}{n + m}$

步骤4：若甲取出红球，乙袋中白球数仍为 $N$
此时乙袋总球数仍为 $N + M + 1$，取出白球的概率为：
$P(\text{乙取白 | 甲取红}) = \frac{N}{N + M + 1}$

步骤5：全概率公式求和
综合两种情况，总概率为：
$\begin{aligned}P(\text{乙取白}) &= P(\text{甲取白}) \cdot P(\text{乙取白 | 甲取白}) \\&\quad + P(\text{甲取红}) \cdot P(\text{乙取白 | 甲取红}) \\&= \frac{n}{n + m} \cdot \frac{N + 1}{N + M + 1} + \frac{m}{n + m} \cdot \frac{N}{N + M + 1} \\&= \frac{n(N + 1) + mN}{(n + m)(N + M + 1)}\end{aligned}$