题目

某校组织校庆活动,负责人将任务分解为编号A,B,C,D的四个子任务,并分配给甲,乙,丙3人,且每人至少分得一个子任务,则甲没有分到编号A的子任务的分配方法共有____A.12种B.18种C.24种D.36种

某校组织校庆活动,负责人将任务分解为编号A,B,C,D的四个子任务,并分配给甲,乙,丙3人,且每人至少分得一个子任务,则甲没有分到编号A的子任务的分配方法共有____

A.12种

B.18种

C.24种

D.36种

题目解答

答案

解：

由于共有4个子任务，分配给3个人，且每人至少有一个子任务，故：必然存在一个人分到了两个子任务，剩余两人每人分到一个子任务；

按照甲分到的子任务的数目可以分为两种情况：

a.甲分到1个子任务：

由于要求解甲没有分到子任务A的情况，故：甲分到的子任务的可能情况有=3种；

剩余的三个子任务分给乙和丙，按照乙分到的数目分别为1个和两个，可能的情况总数为+=6种；

故甲分到1个子任务的可能情况数为3×6=18种.

b.甲分到2个子任务：

由于要求解甲没有分到子任务A的情况，故：甲分到的子任务的可能情况有=3种；

剩余的两个子任务分给乙、丙一人一个，可能的情况==2种；

故甲分到2个子任务的可能情况数为3×2=6种.

故：分配方法总数=18+6=24.

答案：C

解析

考查要点：本题主要考查排列组合中的分配问题，涉及分组分配和限制条件的处理。关键在于正确分类讨论甲分到不同数量任务的情况，并结合排除法计算符合条件的分配方式。

解题核心思路：

  1. 分类讨论：根据甲分到的任务数量（1个或2个）进行分类，分别计算每类的分配方式。
  2. 限制条件处理：甲不能分到任务A，需在每类中排除含A的情况。
  3. 分组分配：剩余任务需满足乙、丙每人至少分得一个任务，需用组合数或排列数计算分配方式。

破题关键点：

  • 分类标准：甲分到1个或2个任务。
  • 剩余任务分配：确保乙、丙每人至少分得一个任务，避免遗漏或重复计数。

情况1：甲分到1个子任务

  1. 甲的选择：甲不能选A，只能从B、C、D中选1个，共$C_3^1 = 3$种。
  2. 剩余任务分配：剩余3个任务（含A）需分给乙、丙，每人至少1个。
    • 分配方式总数为：$2^3 - 2 = 6$种（总分配减去全给乙或全给丙的情况）。
  3. 总方式：$3 \times 6 = 18$种。

情况2：甲分到2个子任务

  1. 甲的选择：甲不能选A，需从B、C、D中选2个，共$C_3^2 = 3$种。
  2. 剩余任务分配：剩余2个任务（含A）需分给乙、丙各1个，共$2! = 2$种。
  3. 总方式：$3 \times 2 = 6$种。

合计

总分配方式为$18 + 6 = 24$种。