设 Sigma 为柱面 x^2 + y^2 = 1，平面 z=0 和 z=1 所围成的空间闭区域的整个边界的外侧，则曲面积分 iint_(Sigma) (x^2 + 2x), dy , dz + (y^2 + 2y), dx , dy = ______。 A. piB. 2piC. 3piD. 4pi

本题考查利用高斯公式计算曲面积分，关键是将曲面积分转化为三重积分进行计算。

步骤1：识别向量场与高斯公式

题目中的曲面积分是第二型曲面积面积分，可表示为向量场$\mathbf{F}=(P,Q,R)$的通量积分：
$\iint_{\Sigma} P\,dy\,dz + Q\,dx\,dy = = \iint_{\Sigma} \mathbf{F}\cdot\cdot\mathbf{n}\,dS$
其中$\mathbf{F}=(x^2+2x,\,y^2+2y,\,0)$，$\Sigma$是闭区域$V$（由圆柱面$x^2+y^2+y^2=1$、$z=0$、$z=1$围成）的整个边界外侧，满足高斯公式条件，故：
$\iint_{\Sigma} \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS = \iiint_{V} \nabla\cdot\mathbf{F}\,dV$

步骤2：计算散度$\nabla\cdot\mathbf{F}$

向量场的散度为：
$\nabla\cdot\mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} = (2x+2) + (2y+2) + 0 = 2x + 2y + 4$

步骤3：三重积分转化为柱坐标计算

积分区域$V$是圆柱：$0\leq r\leq1$，$0\leq\theta\leq2\pi$，$0\leq z\leq1$。

• $x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta\theta$，体积元素$dV=r\,dz\,dr\,d\theta$。
• 奇函数在对称区间积分：$\iiint_{V} 2x\,dV=0$，$\iiint_{V} 2y\,dV=0$（因$x,y$关于$x=0,y=0$对称）。
• 剩余积分：
  $\iiint_{V} 4\,dV = 4 \times (\text{圆柱体积}) = 4\times(\pi r^2 h) = 4\times(\pi\times1^2\times1)=4\pi$