(4)计算不定积分 int cos sqrt (x)dx.

考查要点：本题主要考查不定积分的计算方法，特别是换元积分法和分部积分法的综合应用。
解题思路：

1. 换元法：通过令$t = \sqrt{x}$，将原积分转化为关于$t$的积分，简化计算。
2. 分部积分法：对转化后的积分$\int t \cos t \, dt$进行分部积分，分步求解。
   关键点：

• 变量替换的选择与正确性验证。
• 分部积分法中$u$和$dv$的合理选取，确保积分过程简化。

步骤1：变量替换
令$t = \sqrt{x}$，则$x = t^2$，从而$dx = 2t \, dt$。
原积分变为：
$\int \cos \sqrt{x} \, dx = \int \cos t \cdot 2t \, dt = 2 \int t \cos t \, dt.$

步骤2：分部积分法
对$\int t \cos t \, dt$应用分部积分法：

• 设$u = t$，则$du = dt$；
• 设$dv = \cos t \, dt$，则$v = \sin t$。
  根据分部积分公式$\int u \, dv = uv - \int v \, du$，得：
  $\int t \cos t \, dt = t \sin t - \int \sin t \, dt = t \sin t + \cos t + C.$

步骤3：代回原变量
将结果代入原积分表达式：
$2 \int t \cos t \, dt = 2(t \sin t + \cos t) + C.$
将$t = \sqrt{x}$代回，得到最终结果：
$2\sqrt{x} \sin \sqrt{x} + 2 \cos \sqrt{x} + C.$