1.求下列函数的自然定义域:-|||-(1) =sqrt (3x+2) ;-|||-(2) =dfrac (1)(1-{x)^2}-|||-(3) =dfrac (1)(x)-sqrt (1-{x)^2} ;-|||-(4) =dfrac (1)(sqrt {4-{x)^2}} =-|||-(5) =sin sqrt (x) ;-|||-(6) =tan (x+1) ;-|||-(7) =arcsin (x-3) ;-|||-(8) =sqrt (3-x)+dfrac (1)(x)-|||-(9) =ln (x+1) ;-|||-(10) =(e)^dfrac (1{x)} -

自然定义域的求解关键在于分析函数各部分的限制条件，包括：

1. 分式：分母不能为零；
2. 偶次根号：被开方数非负；
3. 对数函数：真数必须大于零；
4. 正切函数：参数避开$\frac{\pi}{2} + k\pi$；
5. 反正弦/反余弦函数：参数在$[-1,1]$范围内；
6. 指数函数：底数为正数，但指数部分无限制。

(1) $y=\sqrt{3x+2}$

被开方数非负

$3x + 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq -\dfrac{2}{3}$
定义域：$\left[ -\dfrac{2}{3}, +\infty \right)$

(2) $y=\dfrac{1}{1-x^2}$

分母不为零

$1 - x^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 1$
定义域：$(-\infty, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, +\infty)$

(3) $y=\dfrac{1}{x} - \sqrt{1-x^2}$

分式与根号条件

1. 分式：$x \neq 0$；
2. 根号：$1 - x^2 \geq 0 \Rightarrow x \in [-1, 1]$。
   交集：$[-1, 0) \cup (0, 1]$

(4) $y=\dfrac{1}{\sqrt{4-x^2}}$

根号内正数

$4 - x^2 > 0 \Rightarrow x^2 < 4 \Rightarrow x \in (-2, 2)$
定义域：$(-2, 2)$

(5) $y=\sin\sqrt{x}$

根号存在

$x \geq 0$
定义域：$[0, +\infty)$

(6) $y=\tan(x+1)$

正切函数周期性限制

$x + 1 \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi \ (k \in \mathbb{Z})$
解得：$x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi - 1$
定义域：$\mathbb{R} \setminus \left\{ \left( k + \dfrac{1}{2} \right)\pi - 1 \mid k \in \mathbb{Z} \right\}$

(7) $y=\arcsin(x-3)$

参数范围限制

$x - 3 \in [-1, 1] \Rightarrow x \in [2, 4]$
定义域：$[2, 4]$

(8) $y=\sqrt{3-x} + \dfrac{1}{x}$

根号与分式条件

1. 根号：$3 - x \geq 0 \Rightarrow x \leq 3$；
2. 分式：$x \neq 0$。
   交集：$(-\infty, 0) \cup (0, 3]$

(9) $y=\ln(x+1)$

真数大于零

$x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1$
定义域：$(-1, +\infty)$

(10) $y=e^{\dfrac{1}{x}}$

指数底数限制

$x \neq 0$
定义域：$(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$