14．某班 n 个战士各有1支归个人保管使用的枪，这些枪的外形完全一样，在一次夜间紧急集合中，每人随机地取了1支枪，求至少有1人拿到自己的枪的概率。

考查要点：本题属于排列组合中的错位排列（错位重排）问题，考查容斥原理的应用。核心在于计算至少有一个元素回到原位的概率。

解题思路：

1. 事件定义：设$A_i$为“第$i$个战士拿到自己的枪”，求$P(A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n)$。
2. 容斥原理：利用容斥原理展开并集概率，逐项计算单个、两个、...、$n$个事件同时发生的概率。
3. 阶乘简化：通过排列组合公式简化各阶交集概率，最终得到级数表达式。
4. 极限近似：当$n$较大时，级数趋近于$1 - \frac{1}{e}$。

关键点：

• 容斥原理的展开形式是解题的核心工具。
• 错位排列的概率公式可直接推导出结果。

步骤1：定义事件与容斥展开
设$A_i$为“第$i$个战士拿到自己的枪”，则所求概率为：
$P = P\left(\bigcup_{i=1}^n A_i\right)$
根据容斥原理：
$P = \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} \sum_{1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_k \le n} P(A_{i_1} \cap A_{i_2} \cap \cdots \cap A_{i_k}})$

步骤2：计算各阶交集概率

• 单个事件：$P(A_i) = \frac{1}{n}$，总和为$\sum_{i=1}^n \frac{1}{n} = 1$。
• 两个事件：$P(A_i \cap A_j) = \frac{(n-2)!}{n!} = \frac{1}{n(n-1)}$，组合数为$\binom{n}{2}$，总和为$\frac{1}{2}$。
• 一般情况：$k$个事件的交集概率为$\frac{(n-k)!}{n!} = \frac{1}{n(n-1)\cdots(n-k+1)}$，组合数为$\binom{n}{k}$，总和为$\frac{1}{k!}$。

步骤3：代入容斥公式
将各阶结果代入公式，得：
$P = \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} \frac{1}{k!}$

步骤4：极限形式
当$n$较大时，级数趋近于：
$P \approx 1 - \frac{1}{e}$
其中$e = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}$，因此$1 - \frac{1}{e} \approx 0.6321$。