初等变换解下列方程组 2x+3y+z=4 x-2y+4z=-5 3x+8y-2z=13 4x-y+9z=-6

考查要点：本题主要考查线性方程组的解法，特别是利用增广矩阵的初等行变换判断解的情况，并求出通解。

解题核心思路：

1. 构造增广矩阵，通过初等行变换化为阶梯形矩阵，确定系数矩阵和增广矩阵的秩。
2. 判断解的情况：若秩相等且小于未知数个数，则方程组有无穷多解。
3. 确定自由变量，将方程组化为同解方程组，写出通解形式（特解+齐次解）。

破题关键点：

• 正确进行行变换，确保阶梯形矩阵的准确性。
• 识别自由变量，并合理选取特解和基础解系。

步骤1：构造增广矩阵并初等行变换

原方程组的增广矩阵为：
$\begin{bmatrix}2 & 3 & 1 & 4 \\1 & -2 & 4 & -5 \\3 & 8 & -2 & 13 \\4 & -1 & 9 & -6\end{bmatrix}$

通过交换第一行与第二行，并消去下方第一个元素，得到：
$\begin{bmatrix}1 & -2 & 4 & -5 \\0 & 7 & -7 & 14 \\0 & 14 & -14 & 28 \\0 & 7 & -7 & 14\end{bmatrix}$

进一步消去下方第二个元素，最终化简为：
$\begin{bmatrix}1 & 0 & 2 & -1 \\0 & 1 & -1 & 2 \\0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$

步骤2：判断解的情况

• 秩分析：系数矩阵和增广矩阵的秩均为2，小于未知数个数3，方程组有无穷多解。
• 自由变量：设$z$为自由变量，令$z = k$。

步骤3：求通解

1. 特解：令$k=0$，解得$x=-1$，$y=2$，特解为$(-1, 2, 0)^T$。
2. 齐次解：对应齐次方程组的基础解系为$(-2, 1, 1)^T$（令$k=1$）。
3. 通解：特解与齐次解的线性组合。