题目
3.判断题设向量beta可由向量组alpha_(1),alpha_(2),alpha_(3),alpha_(4)线性表示，但不能由alpha_(1),alpha_(2),alpha_(3)线性表示。证明：则alpha_(4)不能由alpha_(1),alpha_(2),alpha_(3),beta线性表示.A 对B 错
3.判断题
设向量$\beta$可由向量组$\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4}$线性表示，但不能由$\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$线性表示。证明：则$\alpha_{4}$不能由$\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\beta$线性表示.
A 对
B 错
题目解答
答案
为了判断题目中给出的陈述是否正确，我们需要逐步分析条件并推导出结论。
1. **给定条件：**
- 向量$\beta$可以由向量组$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$线性表示。
- 向量$\beta$不能由向量组$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$线性表示。
2. **从条件中得出的含义：**
- 由于$\beta$可以由$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$线性表示，存在标量$a_1, a_2, a_3, a_4$使得：
\[
\beta = a_1 \alpha_1 + a_2 \alpha_2 + a_3 \alpha_3 + a_4 \alpha_4
\]
- 由于$\beta$不能由$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$线性表示，标量$a_4$必须非零。如果$a_4$为零，那么$\beta$将由$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$线性表示，这与给定条件矛盾。因此，$a_4 \neq 0$。
3. **要证明的结论：**
- 我们需要证明$\alpha_4$不能由$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta$线性表示。
4. **假设$\alpha_4$可以由$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta$线性表示：**
- 假设存在标量$b_1, b_2, b_3, b_4$使得：
\[
\alpha_4 = b_1 \alpha_1 + b_2 \alpha_2 + b_3 \alpha_3 + b_4 \beta
\]
- 将$\beta$的表达式代入上述方程：
\[
\alpha_4 = b_1 \alpha_1 + b_2 \alpha_2 + b_3 \alpha_3 + b_4 (a_1 \alpha_1 + a_2 \alpha_2 + a_3 \alpha_3 + a_4 \alpha_4)
\]
- 分配$b_4$：
\[
\alpha_4 = b_1 \alpha_1 + b_2 \alpha_2 + b_3 \alpha_3 + b_4 a_1 \alpha_1 + b_4 a_2 \alpha_2 + b_4 a_3 \alpha_3 + b_4 a_4 \alpha_4
\]
- 合并同类项：
\[
\alpha_4 = (b_1 + b_4 a_1) \alpha_1 + (b_2 + b_4 a_2) \alpha_2 + (b_3 + b_4 a_3) \alpha_3 + b_4 a_4 \alpha_4
\]
- 将所有$\alpha_4$项移到方程的一边：
\[
\alpha_4 - b_4 a_4 \alpha_4 = (b_1 + b_4 a_1) \alpha_1 + (b_2 + b_4 a_2) \alpha_2 + (b_3 + b_4 a_3) \alpha_3
\]
- 提取$\alpha_4$：
\[
(1 - b_4 a_4) \alpha_4 = (b_1 + b_4 a_1) \alpha_1 + (b_2 + b_4 a_2) \alpha_2 + (b_3 + b_4 a_3) \alpha_3
\]
- 如果$1 - b_4 a_4 \neq 0$，那么我们可以解出$\alpha_4$作为$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$的线性组合，这与$\beta$不能由$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$线性表示的条件相矛盾，因为$\beta$的表达式中包含$\alpha_4$。如果$1 - b_4 a_4 = 0$，那么$b_4 a_4 = 1$，方程变为：
\[
0 = (b_1 + b_4 a_1) \alpha_1 + (b_2 + b_4 a_2) \alpha_2 + (b_3 + b_4 a_3) \alpha_3
\]
- 这意味着$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$线性相关，但即使它们线性相关，$\beta$仍然不能由$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$线性表示，因为$\beta$的表达式中包含$\alpha_4$。
5. **结论：**
- 由于假设$\alpha_4$可以由$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta$线性表示导致矛盾，$\alpha_4$不能由$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta$线性表示。
因此，正确答案是 $\boxed{A}$。