题目
2.求下列幂级数的收敛半径和收敛区间并研究其在收敛区间端点的性质:-|||-(1) sum _(n=1)^infty ((1+dfrac {1)(n))}^(n^2)(x)^n =-|||-(2)∑a^(n-x^n)(0
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算收敛半径
对于幂级数 $\sum _{n=1}^{\infty }a_nx^n$，其收敛半径 $R$ 可以通过根值判别法或比值判别法来计算。根值判别法是计算 $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}$，比值判别法是计算 $\lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$。收敛半径 $R$ 为上述极限的倒数。
步骤 2：确定收敛区间
收敛区间为 $(-R, R)$。如果幂级数在 $x = R$ 或 $x = -R$ 处收敛，则收敛区间为 $[-R, R]$ 或 $(-R, R]$ 或 $[-R, R)$。
步骤 3：研究端点的性质
对于幂级数在收敛区间端点的性质，需要分别考虑 $x = R$ 和 $x = -R$ 处的敛散性。这通常需要使用其他判别法，如比较判别法、积分判别法等。
对于幂级数 $\sum _{n=1}^{\infty }a_nx^n$，其收敛半径 $R$ 可以通过根值判别法或比值判别法来计算。根值判别法是计算 $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}$，比值判别法是计算 $\lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$。收敛半径 $R$ 为上述极限的倒数。
步骤 2：确定收敛区间
收敛区间为 $(-R, R)$。如果幂级数在 $x = R$ 或 $x = -R$ 处收敛，则收敛区间为 $[-R, R]$ 或 $(-R, R]$ 或 $[-R, R)$。
步骤 3：研究端点的性质
对于幂级数在收敛区间端点的性质，需要分别考虑 $x = R$ 和 $x = -R$ 处的敛散性。这通常需要使用其他判别法，如比较判别法、积分判别法等。