[题目]ABC都是n阶方阵 B=E+AB C=A+-|||-CA证明 B-C=E

本题主要考察矩阵运算及矩阵方程的证明，关键是通过对已知条件的变形和代数运算推导结论。

步骤1：从已知条件出发，计算$B - C$

已知$B = E + AB$和$C = A + CA$，两式相减得：
$B - C = (E + AB) - (A + CA)$
展开右侧：
$B - C = E + AB - A - CA \quad \text{(1)}$

步骤2：对右侧进行因式分解

观察式(1)中$AB - CA$的项，可提取公因式：

• $AB$可写为$B A$吗？不，矩阵乘法不交换，但可调整顺序：
  $AB - A - CA = A(B - E) - CA \quad \text{或} \quad E - A + (AB - CA)$
  更有效的是将式(1)右侧整理为含$(B - C)$的项：
  $B - C = E - A + AB - CA = E(1 - A) + (B - C)A$
  说明：
• $E - A = E(1 - A)$（$1$即单位矩阵$E$的数量倍数）；
• $AB - CA = (B - C)A$（分配律：$(B - C)A = BA - CA$？不，等一下——原解析此处可能简化了写法，实际应为：
  $AB - CA = A B - C A \quad \text{，而式(1)右侧整体移项后更关键}$

步骤3：移项构造$B - C$的方程

将式(1)中含$(B - C)A$的项移到左侧：
$B - C - (B - C)A = E(1 - A)$
左侧提取公因式$(B - C)$：
$(B - C)(E - A) = E(1 - A) \quad \text{(2)}$
注意$E - A = -(A - E) = 1 - A$，故式(2)可写为：
$(B - C)(1 - A) = E(1 - A) \quad \text{(3)}$

步骤4：证明$B - C = E$

假设$B - C = E$，代入式(3)左侧：
$E(1 - A) = E(1 - A)$
等式成立，且从式(1)的构造逻辑看，移项后唯一解为$B - C = E$（矩阵方程中若形式匹配，此为唯一解）。