题目

7. (8分)计算曲线积分int_(L)(sin y+y)dx+xcos ydy，其中L是曲线y=2x-x^2从点O(0,0)到点A(2,0)的一段弧.

7. (8分)计算曲线积分$\int_{L}(\sin y+y)dx+x\cos ydy$，其中L是曲线 $y=2x-x^{2}$从点O(0,0)到点A(2,0)的一段弧.

题目解答

答案

令 $P(x, y) = \sin y + y$，$Q(x, y) = x \cos y$，则 \[ \frac{\partial Q}{\partial x} = \cos y, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = \cos y + 1. \] 由格林公式， \[ \oint_C P \, dx + Q \, dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA = \iint_D (-1) \, dA = -\text{Area}(D). \] 其中，$D$ 为曲线 $y = 2x - x^2$ 下方区域，面积为 \[ \text{Area}(D) = \int_0^2 (2x - x^2) \, dx = \frac{4}{3}. \] 直线段 $OA$（从 $A$ 到 $O$）对积分贡献为0，故 \[ \int_L P \, dx + Q \, dy = -\frac{4}{3}. \] 答案：$\boxed{-\frac{4}{3}}$

解析

考查要点：本题主要考查第二类曲线积分的计算，重点在于格林公式的应用以及闭合曲线的构造。

解题核心思路：

  1. 识别积分形式：积分表达式为$\int_L Pdx + Qdy$，符合格林公式的适用条件。
  2. 构造闭合曲线：原积分路径$L$不是闭合的，需补上线段$OA$（从$A(2,0)$到$O(0,0)$），形成闭合区域$D$。
  3. 应用格林公式：将闭合曲线积分转化为二重积分，计算区域$D$的面积。
  4. 处理补线积分：验证补线段$OA$上的积分为零，最终结果直接由格林公式得出。

破题关键点：

  • 偏导数计算：正确计算$\frac{\partial Q}{\partial x}$和$\frac{\partial P}{\partial y}$，确定二重积分的被积函数。
  • 区域面积计算：通过定积分求出抛物线下方区域的面积。
  • 补线积分的简化：分析补线段$OA$上的积分是否为零，简化计算过程。

步骤1：验证格林公式的适用条件

积分路径$L$是分段光滑曲线，且被积函数$P(x,y)=\sin y + y$和$Q(x,y)=x\cos y$在闭合区域$D$内具有一阶连续偏导数，满足格林公式的条件。

步骤2：计算偏导数

计算$\frac{\partial Q}{\partial x}$和$\frac{\partial P}{\partial y}$：
$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x\cos y) = \cos y, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(\sin y + y) = \cos y + 1.$

步骤3：应用格林公式

构造闭合曲线$L \cup (-OA)$，其中$-OA$表示从$A$到$O$的直线段。根据格林公式：
$\oint_{L \cup (-OA)} Pdx + Qdy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dA = \iint_D (-1) dA = -\text{Area}(D).$

步骤4：计算区域面积

区域$D$由抛物线$y=2x-x^2$与$x$轴围成，面积为：
$\text{Area}(D) = \int_0^2 (2x - x^2) dx = \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = \frac{4}{3}.$

步骤5：处理补线积分

沿直线段$OA$（$y=0$，$dy=0$）的积分为：
$\int_{OA} (\sin 0 + 0)dx + x \cos 0 \cdot 0 = 0.$

步骤6：综合结果

闭合曲线积分结果为$-\frac{4}{3}$，减去补线积分$0$，原积分结果为：
$\int_L (\sin y + y)dx + x\cos y dy = -\frac{4}{3}.$