求矩阵1 2 0 -3 5-|||-2 1 4 0 1-|||-1 -1 4 -4 1-|||-2 4 0 1 5的秩

考查要点：本题主要考查矩阵的秩的求解方法，即通过初等行变换将矩阵化为行阶梯形，进而确定非零行的数量。

解题核心思路：

1. 初等行变换：通过行之间的加减、倍数等操作，将矩阵化为行阶梯形（阶梯形矩阵）。
2. 非零行计数：行阶梯形中非零行的行数即为矩阵的秩。

破题关键点：

• 正确执行行变换：确保每一步变换后，主元下方的元素变为0，逐步形成阶梯结构。
• 注意符号与计算：避免计算错误，尤其是负号和乘法运算。

原矩阵为四行五列：
$\begin{pmatrix}1 & 2 & 0 & -3 & 5 \\2 & 1 & 4 & 0 & 1 \\1 & -1 & 1 & 4 & -4 \\1 & 2 & 4 & 0 & 5\end{pmatrix}$

步骤1：消去第一列下方元素

• 第二行：用第一行的$-2$倍加到第二行：
  $R2 = R2 - 2R1 \Rightarrow (0, -3, 4, 6, -9)$
• 第三行：用第一行的$-1$倍加到第三行：
  $R3 = R3 - R1 \Rightarrow (0, -3, 1, 7, -9)$
• 第四行：用第一行的$-1$倍加到第四行：
  $R4 = R4 - R1 \Rightarrow (0, 0, 4, 3, 0)$

此时矩阵变为：
$\begin{pmatrix}1 & 2 & 0 & -3 & 5 \\0 & -3 & 4 & 6 & -9 \\0 & -3 & 1 & 7 & -9 \\0 & 0 & 4 & 3 & 0\end{pmatrix}$

步骤2：消去第二列下方元素

• 第三行：用第二行的$1$倍加到第三行：
  $R3 = R3 + R2 \Rightarrow (0, 0, 5, 13, -18)$
• 第四行：第二列下方已无非零元素，无需操作。

此时矩阵变为：
$\begin{pmatrix}1 & 2 & 0 & -3 & 5 \\0 & -3 & 4 & 6 & -9 \\0 & 0 & 5 & 13 & -18 \\0 & 0 & 4 & 3 & 0\end{pmatrix}$

步骤3：消去第三列下方元素

• 第四行：用第三行的$\frac{4}{5}$倍加到第四行：
  $R4 = R4 - \frac{4}{5}R3 \Rightarrow (0, 0, 0, -\frac{37}{5}, \frac{72}{5})$

此时矩阵变为：
$\begin{pmatrix}1 & 2 & 0 & -3 & 5 \\0 & -3 & 4 & 6 & -9 \\0 & 0 & 5 & 13 & -18 \\0 & 0 & 0 & -\frac{37}{5} & \frac{72}{5}\end{pmatrix}$

步骤4：整理行阶梯形
将第四行乘以$-\frac{5}{37}$化简：
$R4 = -\frac{5}{37}R4 \Rightarrow (0, 0, 0, 1, -\frac{72}{37})$

最终行阶梯形矩阵为：
$\begin{pmatrix}1 & 2 & 0 & -3 & 5 \\0 & -3 & 4 & 6 & -9 \\0 & 0 & 5 & 13 & -18 \\0 & 0 & 0 & 1 & -\frac{72}{37}\end{pmatrix}$

结论：非零行共3行，因此矩阵的秩为3。