题目
二.计算题（共1题，50分）11.（计算题，50分）求矩阵A=(}-4&-10&01&3&03&6&1)的特征值和特征向量。
二.计算题（共1题，50分）
11.（计算题，50分）
求矩阵$A=\left(\begin{matrix}-4&-10&0\\1&3&0\\3&6&1\end{matrix}\right)$的特征值和特征向量。
题目解答
答案
特征值：
计算特征多项式 $\det(\lambda E - A)$：
\[
\det(\lambda E - A) = (\lambda - 1)^2(\lambda + 2) = 0
\]
解得特征值：
\[
\lambda_1 = \lambda_2 = 1, \quad \lambda_3 = -2
\]
特征向量：
- 对于 $\lambda = 1$：
解 $(E - A)x = 0$，得基础解系 $\alpha_1 = (-2, 1, 0)^T$，$\alpha_2 = (0, 0, 1)^T$。
特征向量为 $k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2$（$k_1, k_2$ 不全为0）。
- 对于 $\lambda = -2$：
解 $(-2E - A)x = 0$，得基础解系 $\alpha_3 = (-5, 1, 3)^T$。
特征向量为 $k \alpha_3$（$k \neq 0$）。
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
\text{特征值:} & \lambda_1 = \lambda_2 = 1, \lambda_3 = -2 \\
\text{特征向量:} & \lambda = 1: k_1 \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + k_2 \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \quad (k_1, k_2 \text{ 不全为零}) \\
& \lambda = -2: k \begin{pmatrix} -5 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \quad (k \neq 0)
\end{array}
}
\]