3.6向一个无限平面靶射击,设命中点(X,Y)的概率密度函数为-|||-(x,y)=dfrac (1)(pi {(1+{x)^2+(y)^2)}^2} , -infty lt x, lt +infty ,-|||-求命中点与靶心(坐标原点)的距离不超过a的概率.

考查要点：本题主要考查概率密度函数在极坐标系下的二重积分应用，以及利用变量代换法计算定积分的能力。

解题核心思路：

1. 确定概率表达式：所求概率为命中点$(X,Y)$到原点的距离不超过$a$的概率，即计算概率密度函数在圆域$x^2 + y^2 \leq a^2$上的二重积分。
2. 坐标系选择：由于积分区域是圆对称的，选择极坐标系简化计算。
3. 积分计算：通过变量代换法计算对$r$的积分，最终得到概率表达式。

破题关键点：

• 极坐标变换：将直角坐标系转换为极坐标系，简化积分区域和表达式。
• 变量代换：对$\int \frac{r}{(1 + r^2)^2} \, dr$使用$u = 1 + r^2$代换，快速求解定积分。

步骤1：建立概率积分表达式
命中点与靶心的距离不超过$a$的概率为：
$P = \iint_{x^2 + y^2 \leq a^2} f(x,y) \, dx \, dy = \iint_{x^2 + y^2 \leq a^2} \frac{1}{\pi (1 + x^2 + y^2)^2} \, dx \, dy.$

步骤2：转换为极坐标系
令$x = r \cos \theta$，$y = r \sin \theta$，则$dx \, dy = r \, dr \, d\theta$，积分区域变为$0 \leq r \leq a$，$0 \leq \theta \leq 2\pi$。概率表达式变为：
$P = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{a} \frac{1}{\pi (1 + r^2)^2} \cdot r \, dr \, d\theta.$

步骤3：计算角度积分
对$\theta$积分：
$\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.$

步骤4：计算半径积分
对$r$积分：
$\int_{0}^{a} \frac{r}{(1 + r^2)^2} \, dr.$
令$u = 1 + r^2$，则$du = 2r \, dr$，积分上下限变为$u=1$到$u=1+a^2$，得：
$\int_{1}^{1+a^2} \frac{1}{2u^2} \, du = \frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{u} \right]_{1}^{1+a^2} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{1+a^2} \right) = \frac{a^2}{2(1+a^2)}.$

步骤5：综合结果
将角度积分和半径积分结果代入概率表达式：
$P = \frac{2\pi}{\pi} \cdot \frac{a^2}{2(1+a^2)} = \frac{a^2}{1+a^2}.$