50、设 A、B、C 三个事件两两独立，则 A、B、C 相互独立的充分必要条件是（）。A. A 与 BC 独立B. AB 与 A∪C 独立C. AB 与 AC 独立D. A∪B 与 A∪C 独立

考查要点：本题主要考查三个事件相互独立的条件，重点在于理解两两独立与相互独立的区别，以及如何通过额外条件推导出相互独立性。

解题核心思路：

• 两两独立仅保证每两个事件之间满足独立性，但相互独立还需满足所有事件的联合概率等于各自概率的乘积（如$P(ABC)=P(A)P(B)P(C)$）。
• 需要找到一个选项，使得在两两独立的基础上，该条件能等价推出$P(ABC)=P(A)P(B)P(C)$。

破题关键点：

• 选项A中“A与BC独立”直接关联到三事件的联合概率$P(ABC)$，通过独立性定义可推导出$P(ABC)=P(A)P(B)P(C)$，从而成为充分必要条件。
• 其他选项的条件或无法直接关联到三事件的联合概率，或仅在特定情况下成立，因此不满足充分必要性。

选项分析

选项A：A与BC独立

1. 独立性定义：若A与BC独立，则$P(A \cap BC) = P(A)P(BC)$。
2. 两两独立性质：由题意，$P(BC) = P(B)P(C)$。
3. 联合概率推导：
   $P(ABC) = P(A \cap BC) = P(A)P(BC) = P(A)P(B)P(C).$
   此时三事件满足相互独立的条件，因此选项A是充分必要条件。

选项B：AB与A∪C独立

1. 计算交集：$AB \cap (A \cup C) = AB \cap A \cup AB \cap C = AB \cap C = ABC$。
2. 独立性条件：
   $P(ABC) = P(AB)P(A \cup C).$
3. 展开右侧：
   $P(AB) = P(A)P(B), \quad P(A \cup C) = P(A) + P(C) - P(AC) = P(A) + P(C) - P(A)P(C).$
   代入后无法直接推出$P(ABC) = P(A)P(B)P(C)$，因此选项B不成立。

选项C：AB与AC独立

1. 计算交集：$AB \cap AC = A \cap B \cap C = ABC$。
2. 独立性条件：
   $P(ABC) = P(AB)P(AC) = P(A)P(B) \cdot P(A)P(C) = P(A)^2 P(B)P(C).$
   此式仅当$P(A)=1$时成立，不具有普遍性，因此选项C不成立。

选项D：A∪B与A∪C独立

1. 计算交集：$(A \cup B) \cap (A \cup C) = A \cup (B \cap C)$。
2. 独立性条件：
   $P(A \cup (B \cap C)) = P(A \cup B)P(A \cup C).$
   展开后涉及复杂项，无法直接推出$P(ABC) = P(A)P(B)P(C)$，因此选项D不成立。