设随机变量X和Y相互独立,X的概率分布为 X=i =dfrac (1)(3)(i=-1,0,1), Y的概-|||-率密度为 _(y)(y)= |X=0 ; (2)Z的概率密度f z(z).

考查要点：本题主要考查条件概率的计算以及独立随机变量和的概率密度求解。
解题思路：

1. 第（1）问：利用条件概率公式，结合已知条件$X=0$，将问题转化为求$Y$的分布函数值。
2. 第（2）问：利用卷积公式，结合$X$的离散取值和$Y$的均匀分布，分段讨论$Z=X+Y$的可能取值范围，最终合并得到$f_Z(z)$。

关键点：

• 条件概率的简化：当$X=0$时，$Z=Y$，直接利用$Y$的均匀分布求解。
• 卷积公式的应用：对$X$的每个取值，平移$Y$的密度函数并叠加，注意各区间的连续性。

第（1）题

条件概率计算
当$X=0$时，$Z = X + Y = Y$，因此：
$P\{Z \leq \frac{1}{2} \mid X=0\} = P\{Y \leq \frac{1}{2}\}.$
由于$Y$在$[0,1)$上服从均匀分布，其分布函数为：
$F_Y(y) = \begin{cases} 0, & y < 0, \\y, & 0 \leq y < 1, \\1, & y \geq 1.\end{cases}$
代入$y = \frac{1}{2}$，得：
$P\{Y \leq \frac{1}{2}\} = \frac{1}{2}.$

第（2）题

卷积公式求解
$Z = X + Y$，$X$取值为$-1,0,1$，概率均为$\frac{1}{3}$。对每个$X=i$，$Z = Y + i$，其密度函数为$f_Y(z - i)$。根据卷积公式：
$f_Z(z) = \sum_{i=-1,0,1} P\{X=i\} \cdot f_Y(z - i).$

分段讨论：

1. 当$X=-1$时：$Y \in [0,1)$，则$Z = Y - 1 \in [-1,0)$，此时$f_Y(z + 1) = 1$，贡献$\frac{1}{3}$。
2. 当$X=0$时：$Y \in [0,1)$，则$Z = Y \in [0,1)$，此时$f_Y(z) = 1$，贡献$\frac{1}{3}$。
3. 当$X=1$时：$Y \in [0,1)$，则$Z = Y + 1 \in [1,2)$，此时$f_Y(z - 1) = 1$，贡献$\frac{1}{3}$。

合并结果：
各区间的密度函数均为$\frac{1}{3}$，且区间连续覆盖$[-1,2)$，因此：
$f_Z(z) = \begin{cases} \frac{1}{3}, & -1 \leq z \leq 2, \\0, & \text{其他}.\end{cases}$