题目

(6). 某种产品上的缺陷数 X 服从分布律 PX=k=(1)/(2^k), k=1,2,... ，则该缺陷数不超过3的概率为________。(7). 设随机变量 X 在区间 [ (2,5) ] 上服从均匀分布，对 X 进行三次独立的观测中，则刚好有两次的观测值大于3的概率为（ ）。A. C_3^1 ((1)/(3))^2((2)/(3))B. C_3^1 ((1)/(3))((2)/(3))C. C_3^2 ((1)/(3))^2((2)/(3))D. C_3^2 ((1)/(3))((2)/(3))^2

(6). 某种产品上的缺陷数 $ X $ 服从分布律 $P\{X=k\}=\frac{1}{2^k},\quad k=1,2,... $，则该缺陷数不超过3的概率为________。(7). 设随机变量 $ X $ 在区间 $ \left[ {2,5} \right] $上服从均匀分布，对 $ X $进行三次独立的观测中，则刚好有两次的观测值大于3的概率为（ ）。

A. $C_3^1 (\frac{1}{3})^2(\frac{2}{3})$

B. $C_3^1 (\frac{1}{3})(\frac{2}{3})$

C. $C_3^2 (\frac{1}{3})^2(\frac{2}{3})$

D. $C_3^2 (\frac{1}{3})(\frac{2}{3})^2$

题目解答

答案

D. $C_3^2 (\frac{1}{3})(\frac{2}{3})^2$

解析

第（6）题
本题考查离散型随机变量的概率计算。关键点在于理解题目给出的分布律形式，即$P\{X=k\} = \frac{1}{2^k}$，并正确求出$X$不超过3的概率。需要将$k=1,2,3$时的概率相加，注意避免遗漏项或计算错误。

第（7）题
本题综合考查均匀分布和二项分布的应用。首先确定均匀分布中“观测值大于3”的概率，再利用二项分布公式计算三次独立试验中恰好两次成功的概率。需注意选项中组合数与概率的对应关系，避免混淆成功与失败的概率。

第（6）题

目标：计算$P\{X \leq 3\}$。

  1. 列出各概率值：
    • $P\{X=1\} = \frac{1}{2^1} = \frac{1}{2}$
    • $P\{X=2\} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$
    • $P\{X=3\} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$
  2. 求和：
    $P\{X \leq 3\} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$

第（7）题

步骤分解：

  1. 确定单次观测概率：
    • 均匀分布概率密度函数为$f(x) = \frac{1}{5-2} = \frac{1}{3}$（$2 \leq x \leq 5$）。
    • “观测值大于3”的区间长度为$5-3=2$，概率为$\frac{2}{3}$。
  2. 应用二项分布公式：
    • 三次试验中恰好两次成功，公式为：
      $C_3^2 \left(\frac{2}{3}\right)^2 \left(\frac{1}{3}\right)^{3-2} = 3 \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{3} = \frac{12}{27} = \frac{4}{9}$
  3. 匹配选项：
    选项D的表达式$C_3^2 \left(\frac{1}{3}\right) \left(\frac{2}{3}\right)^2$与上述推导一致。