求下列行列式的值 3 2 2 ...2-|||-2 3 2 ... ... 2-|||-2 2 3 ... ... 2-|||-2 2 2 3.

考查要点：本题主要考查特殊结构行列式的计算技巧，特别是利用行列式的性质进行行变换，将其转化为上三角行列式来简化计算。

解题核心思路：

1. 观察矩阵结构：主对角线元素为3，其余元素均为2，属于对称型行列式。
2. 行变换策略：通过将所有行相加，提取公因子，再通过行变换将行列式化为上三角形式，此时行列式的值等于主对角线元素的乘积。

破题关键点：

• 提取公因子：将所有行相加后，第一行元素变为$2n+1$，提取公因子后简化计算。
• 构造上三角行列式：通过行变换使下方元素为0，主对角线元素为1，最终结果为$(2n+1) \times 1 \times 1 \times \cdots \times 1$。

步骤1：将所有行相加
将原行列式的每一行相加，得到新第一行为$[2n+1, 2n+1, \dots, 2n+1]$，其余行保持不变。此时行列式可表示为：
$\begin{vmatrix}2n+1 & 2n+1 & \cdots & 2n+1 \\2 & 3 & \cdots & 2 \\2 & 2 & \cdots & 3 \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\2 & 2 & \cdots & 3\end{vmatrix}$

步骤2：提取公因子
将第一行的公因子$2n+1$提出，行列式变为：
$(2n+1) \cdot \begin{vmatrix}1 & 1 & \cdots & 1 \\2 & 3 & \cdots & 2 \\2 & 2 & \cdots & 3 \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\2 & 2 & \cdots & 3\end{vmatrix}$

步骤3：行变换构造上三角行列式
对新行列式进行行变换：

• 第二行至第n行：用第$i$行减去第一行，使第一列下方元素全为0。
• 后续列操作：类似地，对后续列进行行变换，最终得到上三角行列式，主对角线元素全为1。

最终结果：
$(2n+1) \times 1 \times 1 \times \cdots \times 1 = 2n+1$