32.设一个系统由5个元件组成,连接方式如图2.6所示.元件1,5的可靠-|||-性均为 (0lt rlt 1), 元件2,3,4的可靠性均为 (0lt plt 1), 且各元件能否正常工作-|||-是相互独立的.试求:-|||-(1)这个系统的可靠性;-|||-(2)在这个系统正常工作时,元件2,3,4中仅有一个在正常工作的概率.-|||-2-|||-1 3 5-|||-4-|||-图2.6

考查要点：本题主要考查系统可靠性计算及条件概率的应用，涉及串联与并联结构的可靠性分析，以及事件的条件概率计算。

解题核心思路：

1. 系统可靠性：将系统分解为串联和并联的组合结构。元件1和5串联，中间的元件2、3、4并联（至少一个正常工作），整体可靠性为各部分可靠性乘积。
2. 条件概率：在系统正常工作的条件下，计算中间三个元件恰好一个正常工作的概率，需用条件概率公式，结合并联结构的可靠性进行转化。

破题关键点：

• 识别系统结构：明确串联和并联部分的划分。
• 可靠性公式：串联可靠性为各元件可靠性乘积，并联可靠性为1 - (1-p)^n（n为并联元件数）。
• 条件概率转化：将问题转化为分子为“恰好一个正常工作”的概率，分母为系统可靠性。

(1) 系统可靠性

系统结构分析

• 元件1和5串联：可靠性为 $r \cdot r = r^2$。
• 元件2、3、4并联：至少一个正常工作，可靠性为：
  $1 - (1-p)^3 = 3p - 3p^2 + p^3$

总可靠性计算

系统总可靠性为串联和并联部分的乘积：
$r^2 \cdot (3p - 3p^2 + p^3)$

(2) 条件概率计算

事件定义

• 事件A：系统正常工作（即并联部分至少一个正常工作）。
• 事件B：并联部分恰好一个正常工作。

概率计算

1. 事件B的概率：
   $P(B) = \binom{3}{1} p (1-p)^2 = 3p(1-p)^2$
2. 事件A的概率（即系统可靠性）：
   $P(A) = 3p - 3p^2 + p^3$
3. 条件概率：
   $P(B|A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)} = \frac{P(B)}{P(A)} = \frac{3p(1-p)^2}{3p - 3p^2 + p^3} = \frac{3(1-p)^2}{3 - 3p + p^2}$