题目
微分方程 '+y=sin x-cos 2x 的一个特解形式是 __-|||-(A) sin x+bcos x+cos 2x; (B) (asin x+bcos x)+ccos 2x;-|||-(C) sin x+bcos 2x+csin 2x; (D) sin x+bxcos 2x
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定齐次方程的通解
齐次方程 $y''+y=0$ 的特征方程为 $r^2+1=0$，解得 $r=\pm i$。因此，齐次方程的通解为 $y_h=C_1\cos x+C_2\sin x$。
步骤 2：确定非齐次方程的特解形式
非齐次方程 $y''+y=\sin x-\cos 2x$ 的右端项为 $\sin x-\cos 2x$。由于 $\sin x$ 和 $\cos x$ 已经是齐次方程的解，因此特解形式需要乘以 $x$，即 $x(a\sin x+b\cos x)$。而 $\cos 2x$ 不是齐次方程的解，因此特解形式中直接包含 $c\cos 2x$。
步骤 3：确定特解形式
综上所述，非齐次方程 $y''+y=\sin x-\cos 2x$ 的一个特解形式为 $x(a\sin x+b\cos x)+c\cos 2x$。
齐次方程 $y''+y=0$ 的特征方程为 $r^2+1=0$，解得 $r=\pm i$。因此，齐次方程的通解为 $y_h=C_1\cos x+C_2\sin x$。
步骤 2：确定非齐次方程的特解形式
非齐次方程 $y''+y=\sin x-\cos 2x$ 的右端项为 $\sin x-\cos 2x$。由于 $\sin x$ 和 $\cos x$ 已经是齐次方程的解，因此特解形式需要乘以 $x$，即 $x(a\sin x+b\cos x)$。而 $\cos 2x$ 不是齐次方程的解，因此特解形式中直接包含 $c\cos 2x$。
步骤 3：确定特解形式
综上所述，非齐次方程 $y''+y=\sin x-\cos 2x$ 的一个特解形式为 $x(a\sin x+b\cos x)+c\cos 2x$。