题目

计算下列行列式（12）1 2 2 2-|||-2 1 2 2-|||-2 2 1 2-|||-2 2 2 1

计算下列行列式

（12） $\begin{vmatrix} 1& 2&2&2\newline 2& 1&2&2\newline 2& 2&1&2\newline 2& 2&2&1\newline \end{vmatrix}$

题目解答

答案

解：

令 $|A|=\begin{vmatrix} 1& 2&2&2\newline 2& 1&2&2\newline 2& 2&1&2\newline 2& 2&2&1\newline \end{vmatrix}$

把第二行、第三行、第四行加到第一行，得到：

$|A|=\begin{vmatrix} 7& 2&2&2\newline 7& 1&2&2\newline 7& 2&1&2\newline 7& 2&2&1\newline \end{vmatrix} =7\begin{vmatrix} 1& 2&2&2\newline 1& 1&2&2\newline 1& 2&1&2\newline 1& 2&2&1\newline \end{vmatrix}$

将第一行的（-1）倍加到第二行、第三行、第四行，得到：

$|A|=7\begin{vmatrix} 1& 2&2&2\newline 0& -1&0&0\newline 0& 0&-1&0\newline 0& 0&0&-1\newline \end{vmatrix}$

此时，A为下三角矩阵，

故|A|=-7