题目
将3个球随机地放入4个杯子中去,求杯子中球的最大个数分别为1,2,3的概率。
将3个球随机地放入4个杯子中去,求杯子中球的最大个数分别为1,2,3的概率。
题目解答
答案
根据上述解题思路，我们可以得出以下答案：
(1) 杯子中球的最大个数为 1 的概率为
(2) 杯子中球的最大个数为 2 的概率为
(3) 杯子中球的最大个数为 3 的概率为
解析
步骤 1：确定总的放球方式
将3个球随机放入4个杯子中，每个球有4种选择，因此总的放球方式为 \(4^3 = 64\) 种。
步骤 2：计算杯子中球的最大个数为1的概率
杯子中球的最大个数为1，意味着每个杯子中至多有1个球。这等价于从4个杯子中选择3个杯子，每个杯子放1个球，因此有 \(C_4^3 = 4\) 种方式。所以，杯子中球的最大个数为1的概率为 \(\frac{4}{64} = \frac{1}{16}\)。
步骤 3：计算杯子中球的最大个数为2的概率
杯子中球的最大个数为2，意味着有1个杯子中有2个球，另外1个杯子中有1个球。首先，从4个杯子中选择1个杯子放2个球，有 \(C_4^1 = 4\) 种方式；然后，从剩下的3个杯子中选择1个杯子放1个球，有 \(C_3^1 = 3\) 种方式；最后，从3个球中选择2个球放入选定的杯子中，有 \(C_3^2 = 3\) 种方式。因此，杯子中球的最大个数为2的总方式为 \(4 \times 3 \times 3 = 36\) 种。所以，杯子中球的最大个数为2的概率为 \(\frac{36}{64} = \frac{9}{16}\)。
步骤 4：计算杯子中球的最大个数为3的概率
杯子中球的最大个数为3，意味着有1个杯子中有3个球。从4个杯子中选择1个杯子放3个球，有 \(C_4^1 = 4\) 种方式。所以，杯子中球的最大个数为3的概率为 \(\frac{4}{64} = \frac{1}{16}\)。
将3个球随机放入4个杯子中，每个球有4种选择，因此总的放球方式为 \(4^3 = 64\) 种。
步骤 2：计算杯子中球的最大个数为1的概率
杯子中球的最大个数为1，意味着每个杯子中至多有1个球。这等价于从4个杯子中选择3个杯子，每个杯子放1个球，因此有 \(C_4^3 = 4\) 种方式。所以，杯子中球的最大个数为1的概率为 \(\frac{4}{64} = \frac{1}{16}\)。
步骤 3：计算杯子中球的最大个数为2的概率
杯子中球的最大个数为2，意味着有1个杯子中有2个球，另外1个杯子中有1个球。首先，从4个杯子中选择1个杯子放2个球，有 \(C_4^1 = 4\) 种方式；然后，从剩下的3个杯子中选择1个杯子放1个球，有 \(C_3^1 = 3\) 种方式；最后，从3个球中选择2个球放入选定的杯子中，有 \(C_3^2 = 3\) 种方式。因此，杯子中球的最大个数为2的总方式为 \(4 \times 3 \times 3 = 36\) 种。所以，杯子中球的最大个数为2的概率为 \(\frac{36}{64} = \frac{9}{16}\)。
步骤 4：计算杯子中球的最大个数为3的概率
杯子中球的最大个数为3，意味着有1个杯子中有3个球。从4个杯子中选择1个杯子放3个球，有 \(C_4^1 = 4\) 种方式。所以，杯子中球的最大个数为3的概率为 \(\frac{4}{64} = \frac{1}{16}\)。