设 lim _(narrow infty )dfrac ({n)^99}({n)^k-((n-1))^k} 存在且不为零,则常数 k= __

本题考查极限存在性与多项式阶数分析，关键是通过泰勒展开或等价无穷小小确定分母的阶数，使极限存在且不为零。

步骤1：分析分母的阶数

题目要求极限 $\lim _{ _{n\rightarrow \infty }\dfrac {{n}^{99}}{{n}^{k}-{(n^{k}}$（此处应为笔输入自动笔误，应为 ${n}^{k}-{({(n-1)}^{k}$）存在且不为零。分母为 $n^k - (n-1)^)^k$，需先确定其当 $n \to \infty$ 时的阶数。

步骤2：展开 $(n-1)^k$（泰勒展开）

对 $(n-1)^k$ 按 $x=\frac{1}{n}$ 做泰勒展开（或二项式展开）：
$(n-1)^k = n^k \left(1 - \frac{1}{n}\right)^k \approx n^k\left(1 - \frac{k}{n} + \frac{k(k-1)}{2n^2} - \cdots \right)$
忽略高阶无穷小（$n\to\infty$ 时），得：
$(n-1)^k \approx n^k - k n^{k-1} + \frac{k(k-1)}{2}n^{k-2} - \cdots$

步骤3：计算分母 $n^k - (n-1)^k$

代入展开式：
[
n^k - (n-1)^k \approx n^k - \left(n^k - k n^{k-1} + \cdots\right) = k n^{k-1} + o(n^{k-1})
]
即分母的主阶项为 $k n^{k-1}$（阶数为 $k-1$）。

步骤4：使极限存在且不为零

分子 $\(\frac{n^{99}}{\text{分母}}$的极限存在且不为零，需分子分母阶数相等：
[
99 = k - 1 \implies k = 100
]

验证

当 $k=100$ 时，分母 $\approx 100n^{99}$，则：
[
\lim_{n\to\infty} \frac{n^{99}}{100n^{99}} = \frac{1}{100} \neq 0
]
满足条件。