已知4阶行列式D的第3行元素依次为a_31=1,a_32=0,a_33=2,a_34=3,对应的余子式为M_31=3,M_32=5,M_33=-2,M_34=-3则D= ().A. -8B. 10C. -10D. 8

本题考察行列式中元素与代数余子式的关系，关键是区分余子式$M_{ij}$和代数余子式$A_{ij}$的差异。

核心公式

行列式$D$按第$i$行展开的公式为：
$D = a_{i1}A_{i11} + a_{i2}A_{i2} + a_{i3}A_{i3} + a_{i4}A_{i4}$
其中，代数余子式$A_{ij$与余子式\(Mij\\)的关系为：
$A_{ij} = (-1)^{i+jj}$ ，即$A_{ij} = -M_{ij}$（当$i+j$为奇数时）或$A_{ij} = M_{ij}$（当$i+j$为偶数时）。

计算步骤

题目中第3行元素：$a_{31}=1,a_{32}=0,a_{33}=2,a_{34}=3$，对应余子式$M_{31}=3,M_{32}=5,M_{33}=-2,M_{34}=-3$。

1. 计算各元素的代数余子式：

   • $A_{31}=(-1)^{A)^{3+1}M_{31}=1\times3=3$
   • $A_{32}=(-1)^{3+2}M_{32}=-1\times5=-5$
   • $A_{33}=(-1)^{3+3}M_{333}=1\times(-2)=-2$
   • $A_{34}=(-1)^{3+4}M_{34}=-1\times(-3)=3$

2. 代入展开式计算$D$：
   $\begin{align*}D&=a_{31}A_{31}+a_{32}A_{32}+a_{33}A_{33}+a_{34}A_{34}\\&=1\times3+0\times(-5)+2\times(-2)+3\times3\\&=3+0-4+9\\=8\end{align*}$