题目

【例1.12】(2010，数三)求极限lim_(xto+infty)(x^(1)/(x)-1)^(1)/(ln x).

【例1.12】(2010，数三)求极限$\lim_{x\to+\infty}(x^{\frac{1}{x}}-1)^{\frac{1}{\ln x}}$.

题目解答

答案

为了求极限 $\lim_{x\to+\infty}(x^{\frac{1}{x}}-1)^{\frac{1}{\ln x}}$，我们可以使用对数和指数的性质来简化表达式。首先，设 $y = (x^{\frac{1}{x}}-1)^{\frac{1}{\ln x}}$。然后，取 $y$ 的自然对数，我们得到： \[ \ln y = \ln \left( (x^{\frac{1}{x}}-1)^{\frac{1}{\ln x}} \right) = \frac{1}{\ln x} \ln \left( x^{\frac{1}{x}}-1 \right). \] 现在，我们需要求 $\ln y$ 当 $x \to +\infty$ 时的极限： \[ \lim_{x \to +\infty} \ln y = \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln \left( x^{\frac{1}{x}}-1 \right)}{\ln x}. \] 首先，考虑 $x^{\frac{1}{x}}$ 当 $x \to +\infty$ 时的行为。我们知道： \[ x^{\frac{1}{x}} = e^{\frac{\ln x}{x}}. \] 由于 $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0$，可以得出： \[ \lim_{x \to +\infty} x^{\frac{1}{x}} = e^0 = 1. \] 因此，当 $x \to +\infty$ 时，$x^{\frac{1}{x}} - 1$ 趋近于 0。为了得到 $\ln \left( x^{\frac{1}{x}} - 1 \right)$ 的更精确的近似，我们可以使用 $e^t$ 在 $t = 0$ 附近的泰勒展开： \[ e^t \approx 1 + t + \frac{t^2}{2} + \cdots. \] 设 $t = \frac{\ln x}{x}$，我们得到： \[ x^{\frac{1}{x}} \approx 1 + \frac{\ln x}{x} + \frac{(\ln x)^2}{2x^2} + \cdots. \] 因此， \[ x^{\frac{1}{x}} - 1 \approx \frac{\ln x}{x} + \frac{(\ln x)^2}{2x^2} + \cdots \approx \frac{\ln x}{x}, \] 对于大的 $x$。取自然对数，我们有： \[ \ln \left( x^{\frac{1}{x}} - 1 \right) \approx \ln \left( \frac{\ln x}{x} \right) = \ln (\ln x) - \ln x. \] 现在，将这个结果代回 $\ln y$ 的表达式中，我们得到： \[ \lim_{x \to +\infty} \ln y = \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln (\ln x) - \ln x}{\ln x} = \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{\ln (\ln x)}{\ln x} - 1 \right). \] 由于 $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln (\ln x)}{\ln x} = 0$，可以得出： \[ \lim_{x \to +\infty} \ln y = 0 - 1 = -1. \] 因此， \[ \lim_{x \to +\infty} y = e^{-1} = \frac{1}{e}. \] 所以，原极限是： \[ \boxed{\frac{1}{e}}. \]

解析

考查要点：本题主要考查极限的求解方法，特别是涉及指数函数和对数函数的复合形式。需要掌握变量替换、泰勒展开、等价无穷小替换等技巧，以及处理复杂极限的分解思路。

解题核心思路：

  1. 对数化简：通过取自然对数将指数部分转化为乘法，简化运算。
  2. 分析底数行为：确定$x^{\frac{1}{x}}$当$x \to +\infty$时的极限为1，从而将问题转化为对$\ln(x^{\frac{1}{x}}-1)$的近似分析。
  3. 泰勒展开：利用泰勒展开对$x^{\frac{1}{x}}$进行展开，得到$x^{\frac{1}{x}}-1$的近似表达式。
  4. 极限运算：结合对数运算和极限性质，逐步化简表达式，最终通过指数还原得到结果。

破题关键点：

  • 识别底数趋近于1，需用泰勒展开或等价无穷小替换进行精确估计。
  • 分步处理复合函数，将复杂极限分解为多个简单步骤。

设原式为$y = \left(x^{\frac{1}{x}} - 1\right)^{\frac{1}{\ln x}}$，取自然对数得：
$\ln y = \frac{1}{\ln x} \cdot \ln\left(x^{\frac{1}{x}} - 1\right).$

分析$x^{\frac{1}{x}}$的行为：
$x^{\frac{1}{x}} = e^{\frac{\ln x}{x}} \quad \Rightarrow \quad \lim_{x \to +\infty} x^{\frac{1}{x}} = e^0 = 1.$

泰勒展开近似：
当$x \to +\infty$时，$\frac{\ln x}{x} \to 0$，展开得：
$x^{\frac{1}{x}} \approx 1 + \frac{\ln x}{x} \quad \Rightarrow \quad x^{\frac{1}{x}} - 1 \approx \frac{\ln x}{x}.$

计算$\ln(x^{\frac{1}{x}} - 1)$：
$\ln\left(x^{\frac{1}{x}} - 1\right) \approx \ln\left(\frac{\ln x}{x}\right) = \ln(\ln x) - \ln x.$

代入$\ln y$并求极限：
$\ln y \approx \frac{\ln(\ln x) - \ln x}{\ln x} = \frac{\ln(\ln x)}{\ln x} - 1.$
当$x \to +\infty$时，$\frac{\ln(\ln x)}{\ln x} \to 0$，故：
$\lim_{x \to +\infty} \ln y = -1 \quad \Rightarrow \quad \lim_{x \to +\infty} y = e^{-1} = \frac{1}{e}.$