题目

求曲线^dfrac (2{3)}+(y)^dfrac (2{3)}=(a)^dfrac (2{3)},在点^dfrac (2{3)}+(y)^dfrac (2{3)}=(a)^dfrac (2{3)}处的切线方程和法线方程。

求曲线 $x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}$ ,在点 $\left(\frac{\sqrt{2}}{4}a,\frac{\sqrt{2}}{4}a\right)$ 处的切线方程和法线方程。

题目解答

答案

对曲线 $x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}$ 方程两边同时微分得到： $\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}dx+\frac{2}{3}y^{-\frac{1}{3}}dy=0$ 故而得到： $\frac{dy}{dx}=-\left(\frac{y}{x}\right)^3$ ,故而可以求出点 $\left(\frac{\sqrt{2}}{4}a,\frac{\sqrt{2}}{4}a\right)$ 处的切线方程的斜率为： $\frac{dy}{dx}=-1$ ,故而法线方程的斜率为： $\frac{-1}{-1}=1$ .故而切线方程为： $y-\frac{\sqrt{2}}{4}a=-\left(x-\frac{\sqrt{2}}{4}a\right)$ 即： $y=-x+\frac{\sqrt{2}}{2}a$ .法线方程为： $y-\frac{\sqrt{2}}{4}a=\left(x-\frac{\sqrt{2}}{4}a\right)$ ,即： $y=x$

综上本题答案为：曲线 $x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}$ ,在点 $\left(\frac{\sqrt{2}}{4}a,\frac{\sqrt{2}}{4}a\right)$ 处的切线方程为 $y=-x+\frac{\sqrt{2}}{2}a$ ，法线方程为 $y=x$

解析

步骤 1：隐函数求导
对曲线${c}^{\dfrac {2}{3}}+{y}^{\dfrac {2}{3}}={a}^{\dfrac {2}{3}}$方程两边同时微分得到：$\dfrac {2}{3}{x}^{-\dfrac {1}{3}}dx+\dfrac {2}{3}{y}^{-\dfrac {1}{3}}dy=0$，从而得到$\dfrac {dy}{dx}=-{(\dfrac {y}{x})}^{3}$。

步骤 2：计算切线斜率
将点$(\dfrac {\sqrt {2}}{4}a,\dfrac {\sqrt {2}}{4}a)$代入$\dfrac {dy}{dx}=-{(\dfrac {y}{x})}^{3}$，得到切线斜率为$-1$。

步骤 3：计算法线斜率
由于切线斜率为$-1$，则法线斜率为$1$（因为切线斜率与法线斜率互为负倒数）。

步骤 4：求切线方程
利用点斜式方程$y-y_1=m(x-x_1)$，其中$m$为斜率，$(x_1,y_1)$为点$(\dfrac {\sqrt {2}}{4}a,\dfrac {\sqrt {2}}{4}a)$，代入得到切线方程$y=-x+\dfrac {\sqrt {2}}{2}a$。

步骤 5：求法线方程
同样利用点斜式方程$y-y_1=m(x-x_1)$，其中$m$为斜率，$(x_1,y_1)$为点$(\dfrac {\sqrt {2}}{4}a,\dfrac {\sqrt {2}}{4}a)$，代入得到法线方程$y=x-\dfrac {\sqrt {2}}{2}a+\dfrac {\sqrt {2}}{4}a$，简化后得到$y=x-\dfrac {\sqrt {2}}{4}a$。