题目

计算 (int )_(1)^int ((y)^2-x)dydz+((x)^2-y)dxdx+((x)^2-z)dxdy, 其中∑为柱面 ^2+(y)^2=1 及平面-|||-=0, z=3 所围成的空间闭区域Ω的整个边界曲面的外侧.

$\begin{aligned}&\text{计算}\oint_{1}(y^{2}-x) \mathrm{d}y\mathrm{d}z+(z^{2}-y) \mathrm{d}z\mathrm{d}x+(x^{2}-z) \mathrm{d}x\mathrm{d}y ,\text{其中}\Sigma\text{为柱面}x^{2}+y^{2}=1\text{及平面}\\&z=0,z=3\text{所围成的空间闭区域}\Omega\text{的整个边界曲面的外侧}.\end{aligned}$

题目解答

答案

我们需要计算曲面积分：

$\oint_{\Sigma} \left( (y^2 - x) \, dy \, dz + (z^2 - y) \, dz \, dx + (x^2 - z) \, dx \, dy \right),$

其中 $\Sigma$ 是由柱面 $x^2 + y^2 = 1$ 和两个平面 z = 0以及 z = 3所围成的闭合曲面。

使用Stokes 定理，我们可以将这个曲面积分转换为相应体积积分。Stokes 定理表示：

$\oint_{\Sigma} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_{\Omega} (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{V},$

其中 $\mathbf{F} = (y^2 - x, z^2 - y, x^2 - z)$ 。

我们首先计算 $\nabla \times \mathbf{F}$ ：

$\nabla \times \mathbf{F} = \left( \frac{\partial (x^2 - z)}{\partial y} - \frac{\partial (z^2 - y)}{\partial z}, \frac{\partial (y^2 - x)}{\partial z} - \frac{\partial (x^2 - z)}{\partial x}, \frac{\partial (z^2 - y)}{\partial x} - \frac{\partial (y^2 - x)}{\partial y} \right).$

我们分别计算每个分量：

$\left( \frac{\partial (x^2 - z)}{\partial y} - \frac{\partial (z^2 - y)}{\partial z} \right) = \left( 0 - 2z + 1 \right) = 1 - 2z,$

$\left( \frac{\partial (y^2 - x)}{\partial z} - \frac{\partial (x^2 - z)}{\partial x} \right) = \left( 0 - 2x \right) = -2x,$

$\left( \frac{\partial (z^2 - y)}{\partial x} - \frac{\partial (y^2 - x)}{\partial y} \right) = \left( 0 - 2y \right) = -2y.$

因此，

$\nabla \times \mathbf{F} = (1 - 2z, -2x, -2y).$

现在我们计算体积积分：

$\iiint_{\Omega} (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{V} = \iiint_{\Omega} (1 - 2z, -2x, -2y) \cdot d\mathbf{V}.$

由于 $\Omega$ 是由柱面 $x^2 + y^2 = 1$ 和两个平面 z = 0 及 z = 3 所围成的，我们可以在柱坐标系下进行积分。

柱坐标系下，体积元素 $dV = r \, dr \, d\theta \, dz$ ，其中 $x = r\cos\theta，y = r\sin\theta$ ，积分区域为 $0 \leq r \leq 1$ ， $0 \leq \theta \leq 2\pi$ ， $0 \leq z \leq 3$ 。