求抛物线y2=2x与其在点(1/2,1)处的法线所围成的图形的面积

考查要点：本题主要考查抛物线的切线与法线方程的求解，以及利用定积分计算平面图形的面积。

解题核心思路：

1. 求导数：对抛物线方程隐函数求导，得到切线斜率，进而确定法线斜率。
2. 求法线方程：利用点斜式方程写出法线方程。
3. 联立方程求交点：将法线方程代入抛物线方程，解出交点的纵坐标，确定积分上下限。
4. 积分计算面积：通过积分法线与抛物线之间的横向距离，计算围成的面积。

破题关键点：

• 正确求导：隐函数求导时注意链式法则的应用。
• 积分变量选择：选择$y$作为积分变量，简化积分表达式。
• 积分上下限：通过联立方程确定积分上下限，避免范围错误。

1. 求法线方程

对抛物线$y^2 = 2x$隐函数求导：
$2y \cdot \frac{dy}{dx} = 2 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{1}{y}.$
在点$\left(\frac{1}{2}, 1\right)$处，导数为$\frac{dy}{dx} = 1$，因此法线斜率为$k = -1$。
法线方程为：
$y - 1 = -1 \left(x - \frac{1}{2}\right) \implies x + y = \frac{3}{2} \quad \text{或} \quad x = \frac{3}{2} - y.$

2. 联立方程求交点

将法线方程$x = \frac{3}{2} - y$代入抛物线方程：
$y^2 = 2\left(\frac{3}{2} - y\right) \implies y^2 + 2y - 3 = 0.$
解得：
$y = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = 1 \quad \text{或} \quad -3.$
对应交点为$\left(\frac{1}{2}, 1\right)$和$\left(\frac{9}{2}, -3\right)$。

3. 积分计算面积

横向距离为法线$x$值与抛物线$x$值之差：
$\text{面积} = \int_{-3}^{1} \left[\left(\frac{3}{2} - y\right) - \frac{y^2}{2}\right] dy.$
展开被积函数并积分：
$\int_{-3}^{1} \left(\frac{3}{2} - y - \frac{y^2}{2}\right) dy = \left[\frac{3}{2}y - \frac{y^2}{2} - \frac{y^3}{6}\right]_{-3}^{1}.$
代入上下限计算得：
$\left(\frac{5}{6}\right) - \left(-\frac{9}{2}\right) = \frac{16}{3}.$