(1)给出事件A、B的例子,使得(i)P(A B)<P(A),(ii)P(A B)=P(A) (iii)P(A B)>P(A)(2)设事件A、B、C相互独立,证明:(i)C与AB相互独立 (ii)C与AB相互独立。(3)设事件A的概率P(A)=0,证明对于任意另一事件B,有A、B相互独立。(4)证明事件A、B相互独立的充要条件是P(A B)=P(A B)

题目（1）：事件概率关系举例

考察对事件交集概率与事件概率大小关系的理解，核心是事件间的影响方向：

• (i) $P(AB) < P(A)$：需$B$发生降低$A$发生的可能性，即$B$对$A$有负影响。例如“$A$为骑自行车上学的学生，$B$为男生”，因男生可能更多选择其他交通工具，导致$AB$概率小于$A$。
• (ii) $P(AB) = P(A)$：需$B$对$A$无影响，即$A$与$B$独立（$P(AB)=P(A)P(B)$，若$P(B)≠0$则$P(A)=P(AB)$）。例如“$A$为扔骰子得1点，$B$为明天下雨”，两者无关，交集概率等于$A$的概率。
• (iii) $P(AB) > P(A)$：需$B$发生提高$A$发生的可能性，即$B$对$A$有正影响。例如“$A$为课余健身，$B$为室友课余健身”，室友健身可能带动自己健身，交集概率大于$A$。

题目（2）：相互独立事件的性质

考察事件相互独立的定义（$P(ABC)=P(A)P(B)P(C)$及$P(AC)=P(A)P(C)$等）：

• (i) $C$与$AB$独立：
  因$A,B,C$相互独立，故$P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=P(AB)P(C)$，即$P((AB)C)=P(AB)P(C)$，由独立性定义得$C$与$AB$独立。
• (ii) $C$与$A∪B$独立：
  先展开$P((A∪B)C)=P(AC∪BC)=P(AC)+P(BC)-P(ABC)$，代入独立性：
  $P(AC)+P(BC)-P(ABC)=P(A)P(C)+P(B)P(C)-P(A)P(B)P(C)=P(C)[P(A)+P(B)-P(AB)]=P(C)P(A∪B)$，故$C$与$A∪B$独立。

题目（3）：概率为0的事件与任意事件独立

考察独立性定义（$P(AB)=P(A)P(B)$）：
因$AB⊆A$，故$P(AB)≤P(A)=0$，又概率非负，得$P(AB)=0$。对任意$B$，$P(A)P(B)=0×P(B)=0=P(AB)$，满足独立性定义，故$A,B$独立。

题目（4）：$A,B$独立的充要条件

考察条件概率与独立性的等价性：

• 必要性：若$A,B$独立，则$P(A|B)=P(A)$且$P(A|\overline{B})=P(A)$（独立事件的条件概率等于边际概率），故$P(A|B)=P(A|\overline{B})$。
• 充分性：若$P(A|B)=P(A|\overline{B})$，则$\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{P(A\overline{B})}{P(\overline{B})}$，交叉相乘得$P(AB)P(\overline{B})=P(A\overline{B})P(B)$。展开$P(\overline{B})=1-P(B)$，$P(A\overline{B})=P(A)-P(AB)$，代入化简得$P(AB)=P(A)P(B)$，即$A,B$独立。