例题 4-2 汽车的主传动轴,由N o.45钢的无缝钢管制成,外径 D=-|||-90mm,壁厚 =2.5mm, 工作时的最大扭矩 =1.5kNcdot m, 若材料的许用切-|||-应力 [ r] =60MPa, 试校核该轴的强度。

本题考查圆轴扭转强度的校核，解题思路是分别使用薄壁圆筒切应力公式和圆轴切应力公式计算主传动轴的最大切应力，然后与材料的许用切应力进行比较，判断轴的强度是否满足要求。

1. 按薄壁圆筒切应力公式计算

• 首先计算平均半径 $r_0$：
  已知外径 $D = 90mm$，壁厚 $d = 2.5mm$，则平均半径 $r_0=\frac{D - d}{2}=\frac{90 - 2.5}{2}mm = 43.75mm=43.75\times10^{-3}m$。
• 薄壁圆筒切应力公式为 $\tau=\frac{T}{2\pi r_0^2d}$，其中 $T = 1.5kN\cdot m = 1.5\times10^3N\cdot m$，$d = 2.5mm = 2.5\times10^{-3}m$，$r_0 = 43.75\times10^{-3}m$，代入可得：
  $\tau=\frac{1.5\times10^3}{2\pi\times(43.75\times10^{-3})^2\times2.5\times10^{-3}}Pa$
  $=\frac{1.5\times10^3}{2\pi\times1914.0625\times10^{-9}\times2.5\times10^{-3}}Pa$
  $=\frac{1.5\times10^3}{30.07\times10^{-9}}Pa$
  $\approx50\times10^6Pa = 50MPa$

2. 按圆轴切应力公式计算

• 计算主传动轴的内外径之比 $\alpha$：
  内径 $d = D - 2\times2.5 = 90 - 5 = 85mm$，则 $\alpha=\frac{d}{D}=\frac{85}{90}\approx0.944$。
• 抗扭截面系数 $W_t$ 对于空心圆轴的计算公式为 $W_t=\frac{\pi D^3}{16}(1 - \alpha^4)$，将 $D = 90mm = 90\times10^{-3}m$，$\alpha = 0.944$ 代入可得：
  $W_t=\frac{\pi\times(90\times10^{-3})^3}{16}(1 - 0.944^4)$
  $=\frac{\pi\times729000\times10^{-9}}{16}(1 - 0.779)$
  $=\frac{2.29\times10^{-3}}{16}\times0.221$
  $\approx3.1\times10^{-5}m^3$
• 圆轴切应力公式为 $\tau_{max}=\frac{T}{W_t}$，将 $T = 1.5\times10^3N\cdot m$，$W_t = 3.1\times10^{-5}m^3$ 代入可得：
  $\tau_{max}=\frac{1.5\times10^3}{3.1\times10^{-5}}Pa\approx48.4\times10^6Pa = 48.4MPa$

3. 强度校核

已知材料的许用切应力 $[\tau]=60MPa$。
按薄壁圆筒切应力公式计算的最大切应力 $\tau = 50MPa\lt [\tau]$；按圆轴切应力公式计算的最大切应力 $\tau_{max}=48.4MPa\lt [\tau]$。
比较以上两种计算结果，数值相近，主传动轴安全。
本题中 $\frac{r_0}{d}=\frac{43.75}{2.5}=17.5\gt 10$，可按薄壁圆筒切应力公式计算，否则按圆轴切应力公式计算。