题目
六、应用题(本题8分)某房地产公司有50套公寓要出租, 当租金定为每月2000元时, 公寓会全部租出去. 当租金每月增加100元时, 就会多一套公寓租不出去, 而租出去的房子每月需花费200元的整修维护费. 试问房租定为多少可获得最大收入?最大收入是多少?
六、应用题(本题8分)某房地产公司有50套公寓要出租, 当租金定为每月2000元时, 公寓会全部租出去. 当租金每月增加100元时, 就会多一套公寓租不出去, 而租出去的房子每月需花费200元的整修维护费. 试问房租定为多少可获得最大收入?最大收入是多少?
题目解答
答案
解析:设租金定为x元时对应的收入为y元,则,即,,令,得唯一驻点,且,结合实际问题,知当租金定为3600元时,可获得最大收入,最大收入为115600元.
解析
步骤 1：建立收入函数
设租金定为x元时对应的收入为y元。根据题意，当租金为2000元时，所有50套公寓都能租出去。每增加100元租金，就会多一套公寓租不出去。因此，当租金为x元时，租出去的公寓数量为50 - (x - 2000) / 100套。每套公寓每月需花费200元的整修维护费，因此每套公寓的净收入为x - 200元。所以，总收入函数为：
\[ y = (50 - \frac{x - 2000}{100})(x - 200) \]
步骤 2：化简收入函数
化简上述函数，得到：
\[ y = (50 - \frac{x}{100} + 20)(x - 200) \]
\[ y = (70 - \frac{x}{100})(x - 200) \]
\[ y = 70x - 14000 - \frac{x^2}{100} + 2x \]
\[ y = -\frac{x^2}{100} + 72x - 14000 \]
步骤 3：求导数并求极值
对y求导，得到：
\[ \frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{100} + 72 \]
令导数等于0，求得x的值：
\[ -\frac{2x}{100} + 72 = 0 \]
\[ -2x + 7200 = 0 \]
\[ x = 3600 \]
因此，当租金定为3600元时，可获得最大收入。
步骤 4：计算最大收入
将x = 3600代入收入函数，得到最大收入：
\[ y = -\frac{3600^2}{100} + 72 \times 3600 - 14000 \]
\[ y = -129600 + 259200 - 14000 \]
\[ y = 115600 \]
因此，最大收入为115600元。
设租金定为x元时对应的收入为y元。根据题意，当租金为2000元时，所有50套公寓都能租出去。每增加100元租金，就会多一套公寓租不出去。因此，当租金为x元时，租出去的公寓数量为50 - (x - 2000) / 100套。每套公寓每月需花费200元的整修维护费，因此每套公寓的净收入为x - 200元。所以，总收入函数为：
\[ y = (50 - \frac{x - 2000}{100})(x - 200) \]
步骤 2：化简收入函数
化简上述函数，得到：
\[ y = (50 - \frac{x}{100} + 20)(x - 200) \]
\[ y = (70 - \frac{x}{100})(x - 200) \]
\[ y = 70x - 14000 - \frac{x^2}{100} + 2x \]
\[ y = -\frac{x^2}{100} + 72x - 14000 \]
步骤 3：求导数并求极值
对y求导，得到：
\[ \frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{100} + 72 \]
令导数等于0，求得x的值：
\[ -\frac{2x}{100} + 72 = 0 \]
\[ -2x + 7200 = 0 \]
\[ x = 3600 \]
因此，当租金定为3600元时，可获得最大收入。
步骤 4：计算最大收入
将x = 3600代入收入函数，得到最大收入：
\[ y = -\frac{3600^2}{100} + 72 \times 3600 - 14000 \]
\[ y = -129600 + 259200 - 14000 \]
\[ y = 115600 \]
因此，最大收入为115600元。