题目

单选题（共40题，100.0分）题型说明：答题说明：单选题，每题均有A、B、C、D四个备选答案，其中只有一个正确答案，将其选出，每题2.5分，共40题，满分100分。 3.（2.5分）极限lim_(xto a)(sin x)/(x)=（） A. 1 B. 不存在 C. 视a而定 D. 0

单选题（共40题，100.0分）题型说明：答题说明：单选题，每题均有A、B、C、D四个备选答案，其中只有一个正确答案，将其选出，每题2.5分，共40题，满分100分。 3.（2.5分）极限$\lim_{x\to a}\frac{\sin x}{x}=$（）
A. 1
B. 不存在
C. 视a而定
D. 0

题目解答

答案

为了求解极限 $\lim_{x \to a} \frac{\sin x}{x}$，我们需要考虑 $a$ 的值。极限的值将取决于 $a$ 是否为0，因为 $\frac{\sin x}{x}$ 在 $x \to 0$ 时有一个著名的极限值，而在其他情况下，极限的值将直接由函数在 $a$ 处的值决定。 1. 如果 $a = 0$，那么我们要求解的是 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$。根据微积分中的一个基本极限，我们知道 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$。 2. 如果 $a \neq 0$，那么 $\frac{\sin x}{x}$ 在 $x \to a$ 时的极限就是 $\frac{\sin a}{a}$。这个值是确定的，但具体是多少取决于 $a$ 的值。因此，极限 $\lim_{x \to a} \frac{\sin x}{x}$ 的值视 $a$ 而定。如果 $a = 0$，极限为1；如果 $a \neq 0$，极限为 $\frac{\sin a}{a}$。所以，正确答案是 $\boxed{\text{C}}$。

解析

考查要点：本题主要考查极限的基本概念及常见极限的计算，特别是对变量趋近点的敏感性分析。

解题核心思路：

判断$a$是否为特殊值（如$a=0$），此时可能应用特殊极限公式（如$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$）。
若$a \neq 0$，则函数$\frac{\sin x}{x}$在$x=a$处连续，极限值直接等于$\frac{\sin a}{a}$。
综合两种情况，极限结果取决于$a$的具体值，因此正确答案为选项C。

破题关键点：

区分$a=0$与$a \neq 0$的不同情况，避免混淆特殊极限与一般情况。
理解“视$a$而定”的含义，即极限结果随$a$的变化而变化，不存在唯一确定的答案。

步骤1：分析$a=0$的情况
当$a=0$时，极限变为：
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
这是微积分中的基本极限公式，直接应用即可。

步骤2：分析$a \neq 0$的情况
当$a \neq 0$时，函数$\frac{\sin x}{x}$在$x=a$附近连续，因此：
$\lim_{x \to a} \frac{\sin x}{x} = \frac{\sin a}{a}$
此时极限值由$a$的具体数值决定。

步骤3：综合两种情况

若$a=0$，极限值为1；
若$a \neq 0$，极限值为$\frac{\sin a}{a}$。
因此，极限结果依赖于$a$的取值，正确答案为选项C。