设柱面的准线为 ) x=(y)^2+(z)^2 x=2z .，母线垂直于准线所在的平面,求这柱面的方程。

考查要点：本题主要考查柱面方程的求解方法，涉及空间几何中准线、母线方向向量的确定，以及参数方程消元的技巧。

解题核心思路：

1. 确定准线所在的平面：题目中准线由两个平面方程联立给出，需明确准线所在的平面。
2. 求母线方向向量：母线垂直于准线所在平面，因此母线方向向量即为该平面的法向量。
3. 建立母线方程：以准线上任意一点为起点，沿母线方向向量延伸，写出参数方程。
4. 消去参数：通过准线的参数方程和母线方程，消去中间变量，得到柱面的方程。

破题关键点：

• 准线所在平面的法向量：通过平面方程直接确定。
• 参数方程的联立与消元：需灵活处理参数关系，建立关于空间坐标变量的方程。

步骤1：确定准线所在平面

准线由方程组 $\begin{cases} x = y^2 \\ x = 2z \end{cases}$ 给出。联立两式得 $2z = y^2$，即准线是空间曲线，但题目中母线垂直于准线所在平面，需明确该平面。
关键结论：准线所在平面为 $x = 2z$，其法向量为 $\mathbf{n} = (1, 0, -2)$。

步骤2：确定母线方向向量

母线垂直于准线所在平面，因此母线方向向量为平面法向量 $\mathbf{n} = (1, 0, -2)$。

步骤3：建立母线方程

准线上任意一点 $M(x, y, z)$ 满足 $x = 2z$ 和 $x = y^2$，参数化为 $y = t$，则 $x = t^2$，$z = \frac{t^2}{2}$。
母线方程为：
$\frac{X - t^2}{1} = \frac{Y - t}{0} = \frac{Z - \frac{t^2}{2}}{-2}$
因分母为0，得 $Y = t$，母线参数方程为：
$\begin{cases}X = t^2 + \lambda \\Y = t \\Z = \frac{t^2}{2} - 2\lambda\end{cases}$

步骤4：消去参数 $t$ 和 $\lambda$

由 $Y = t$ 得 $t = Y$，代入 $X$ 和 $Z$：
$\begin{cases}X = Y^2 + \lambda \\Z = \frac{Y^2}{2} - 2\lambda\end{cases}$
解得 $\lambda = X - Y^2$，代入 $Z$ 的表达式：
$Z = \frac{Y^2}{2} - 2(X - Y^2) = \frac{5Y^2}{2} - 2X$
整理得柱面方程：
$5Y^2 - 2Z - 4X = 0$