13.设 (x)=lim _(tarrow +infty )dfrac (x+{e)^tx}(1+{e)^tx}, 则 x=0 是f(x)的 () .-|||-(A)连续点 (B)第一类间断点-|||-(C)第二类间断点 (D)不能判断连续性的点

本题考查分段函数在分段点处的连续性判断，核心在于通过极限定义确定函数表达式，进而分析间断点类型。关键点如下：

1. 极限分析：当极限变量$t \rightarrow +\infty$时，指数项$e^{tx}$的行为由$x$的符号决定；
2. 分段表达式：根据$x>0$、$x=0$、$x<0$的不同情况，分别求出$f(x)$的表达式；
3. 间断点类型判断：通过左右极限与函数值的关系，确定$x=0$处的间断类型。

步骤1：分析不同$x$值下的极限

1. 当$x > 0$时：
   $t \rightarrow +\infty$时，$e^{tx} \rightarrow +\infty$，分子和分母均被$e^{tx}$主导，故：
   $f(x) = \lim_{t \rightarrow +\infty} \frac{x + e^{tx}}{1 + e^{tx}} = \frac{e^{tx}}{e^{tx}} = 1$

2. 当$x = 0$时：
   代入$x=0$，直接计算：
   $f(0) = \frac{0 + e^{0}}{1 + e^{0}} = \frac{1}{2}$

3. 当$x < 0$时：
   $t \rightarrow +\infty$时，$e^{tx} \rightarrow 0$，分子和分母中的常数项占优，故：
   $f(x) = \lim_{t \rightarrow +\infty} \frac{x + 0}{1 + 0} = x$

步骤2：计算$x=0$处的左右极限

• 右极限（$x \rightarrow 0^+$）：
  $f(x) = 1$，故$\lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = 1$；

• 左极限（$x \rightarrow 0^-$）：
  $f(x) = x$，故$\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = 0$；

• 函数值：
  $f(0) = \frac{1}{2}$。

步骤3：判断间断点类型

• 左右极限存在但不相等（右极限$1 \neq$左极限$0$），且函数值$\frac{1}{2}$与左右极限均不相等；
• 符合第一类间断点（跳跃间断点）的定义。