题目
注 类似地，求极限lim_(x to 0) (ln(1+x)ln(1-x)-ln(1-x^2))/(x^4).
注 类似地，求极限$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)\ln(1-x)-\ln(1-x^2)}{x^4}$.
题目解答
答案
我们来求这个极限：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)\ln(1-x)-\ln(1-x^2)}{x^4}
$$
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### 第一步：分析极限结构
极限形式为：
$$
\frac{\ln(1+x)\ln(1-x) - \ln(1 - x^2)}{x^4}
$$
注意到当 $x \to 0$ 时，$\ln(1+x) \approx x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots$，这是一个常见的泰勒展开。
所以我们可以尝试将所有函数展开为泰勒级数，保留到 $x^4$ 项，以求出极限。
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### 第二步：对 $\ln(1+x)$ 和 $\ln(1-x)$ 展开
$$
\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + o(x^4)
$$
$$
\ln(1-x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + o(x^4)
$$
我们计算 $\ln(1+x)\ln(1-x)$：
$$
\ln(1+x)\ln(1-x) = \left(x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4}\right)\left(-x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4}\right)
$$
我们只保留到 $x^4$ 项，所以只计算乘积中 $x^4$ 以内的项：
- $x \cdot (-x) = -x^2$
- $x \cdot (-\frac{x^2}{2}) = -\frac{x^3}{2}$
- $x \cdot (-\frac{x^3}{3}) = -\frac{x^4}{3}$
- $-\frac{x^2}{2} \cdot (-x) = \frac{x^3}{2}$
- $-\frac{x^2}{2} \cdot (-\frac{x^2}{2}) = \frac{x^4}{4}$
- $\frac{x^3}{3} \cdot (-x) = -\frac{x^4}{3}$
- 其他更高阶的项忽略
所以乘积为：
$$
\ln(1+x)\ln(1-x) = -x^2 + \left(-\frac{x^3}{2} + \frac{x^3}{2}\right) + \left(-\frac{x^4}{3} + \frac{x^4}{4} - \frac{x^4}{3}\right) + o(x^4)
$$
化简：
$$
= -x^2 + 0 + \left(-\frac{2x^4}{3} + \frac{x^4}{4}\right) + o(x^4)
= -x^2 - \frac{5x^4}{12} + o(x^4)
$$
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### 第三步：对 $\ln(1 - x^2)$ 展开
$$
\ln(1 - x^2) = -x^2 - \frac{x^4}{2} + o(x^4)
$$
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### 第四步：代入原式
现在我们代入原式：
$$
\frac{\ln(1+x)\ln(1-x) - \ln(1 - x^2)}{x^4}
= \frac{\left(-x^2 - \frac{5x^4}{12}\right) - \left(-x^2 - \frac{x^4}{2}\right)}{x^4}
$$
计算分子：
$$
\left(-x^2 - \frac{5x^4}{12}\right) - \left(-x^2 - \frac{x^4}{2}\right)
= -x^2 - \frac{5x^4}{12} + x^2 + \frac{x^4}{2}
= \left(-\frac{5x^4}{12} + \frac{x^4}{2}\right)
$$
通分：
$$
= \left(-\frac{5x^4}{12} + \frac{6x^4}{12}\right) = \frac{x^4}{12}
$$
所以：
$$
\frac{\frac{x^4}{12}}{x^4} = \frac{1}{12}
$$
---
### ✅ 最终答案：
$$
\boxed{\frac{1}{12}}
$$
解析
考查要点：本题主要考查利用泰勒展开法求解极限的能力，涉及对数函数的泰勒展开及多项式乘积运算。
解题核心思路：
当直接代入$x=0$导致“$\frac{0}{0}$”型不定式时，考虑将分子中的对数函数展开为泰勒多项式，保留到$x^4$项，通过展开后的多项式相减，消去低次项，最终得到分子中$x^4$项的系数，从而求得极限。
破题关键点：
- 泰勒展开：正确展开$\ln(1+x)$、$\ln(1-x)$和$\ln(1-x^2)$到$x^4$项；
- 多项式乘积：准确计算$\ln(1+x)\ln(1-x)$的乘积，保留到$x^4$项；
- 合并同类项：分子相减后，提取$x^4$项的系数，与分母$x^4$相除得极限值。
第一步：展开对数函数
- $\ln(1+x)$的展开：
$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + o(x^4)$ - $\ln(1-x)$的展开：
$\ln(1-x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + o(x^4)$ - $\ln(1-x^2)$的展开：
$\ln(1-x^2) = -x^2 - \frac{x^4}{2} + o(x^4)$
第二步：计算$\ln(1+x)\ln(1-x)$
将两多项式相乘，保留到$x^4$项：
$\begin{aligned}\ln(1+x)\ln(1-x) &= \left(x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4}\right)\left(-x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4}\right) \\&= -x^2 - \frac{5x^4}{12} + o(x^4)\end{aligned}$
第三步：代入原式并化简
分子为：
$\ln(1+x)\ln(1-x) - \ln(1-x^2) = \left(-x^2 - \frac{5x^4}{12}\right) - \left(-x^2 - \frac{x^4}{2}\right) = \frac{x^4}{12}$
分母为$x^4$，因此：
$\frac{\frac{x^4}{12}}{x^4} = \frac{1}{12}$