设二维随机变量(X,Y),联合概率密度为f(x)= ) 0.5, 0lt xlt y 0, xleqslant 0. .则X与Y是否独立。

独立性判断的核心：随机变量$X$和$Y$独立的充要条件是它们的联合概率密度函数$f(x,y)$等于各自边缘概率密度函数的乘积，即$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$对所有$x,y$成立。

关键观察点：
题目中联合密度函数$f(x,y)=0.5$在$0

步骤1：计算边缘概率密度函数

1. $X$的边缘密度$f_X(x)$：
   对$y$积分联合密度函数：
   $f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \, dy = \begin{cases} \int_{x}^{+\infty} 0.5 \, dy = 0.5 \cdot (+\infty - x) & (x > 0), \\ 0 & (x \leq 0). \end{cases}$
   问题：积分发散，说明题目中的联合密度函数定义可能存在问题（例如未限制$Y$的上限）。假设题目实际定义域为$0 < x < y < 1$（修正后），则：
   $f_X(x) = \int_{x}^{1} 2 \, dy = 2(1 - x) \quad (0 < x < 1).$

2. $Y$的边缘密度$f_Y(y)$：
   对$x$积分联合密度函数：
   $f_Y(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \, dx = \begin{cases} \int_{0}^{y} 2 \, dx = 2y & (0 < y < 1), \\ 0 & (\text{其他}). \end{cases}$

步骤2：验证独立性条件

若$X$和$Y$独立，则应满足$f(x,y) = f_X(x)f_Y(y)$。
计算乘积：
$f_X(x)f_Y(y) = 2(1 - x) \cdot 2y = 4y(1 - x).$
而联合密度函数$f(x,y)=2$在$0独立性条件不成立。