设第一只盒子中装有3只蓝球,2只绿球,2只白球;第二只盒子 中装有2只蓝球,3只绿球,4只白球。独立地分别在两只盒子中各取 一只球。(1) 求至少有一只蓝球的概率。(2) 求有一只蓝球一只白球的概率。(3) 已知至少有一只蓝球,求有一只蓝球一只白球的概率。

考查要点：本题主要考查独立事件的概率计算、对立事件的应用、互斥事件的概率加法以及条件概率的计算。

解题思路：

1. 至少有一个事件发生的概率通常通过对立事件简化计算；
2. 组合事件（如“一蓝一白”）需明确所有可能的互斥情况，再相加概率；
3. 条件概率需用事件交集概率除以条件概率，注意事件间的独立性。

关键点：

• 独立事件：两盒子取球互不影响，概率相乘；
• 对立事件：$P(A \cup B) = 1 - P(\overline{A} \cap \overline{B})$；
• 互斥事件：若事件互斥，概率可直接相加；
• 条件概率公式：$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$。

第（1）题

目标：求至少有一只蓝球的概率。
步骤：

1. 计算对立事件概率：两盒子均不取蓝球的概率。
   • 第一盒非蓝球概率：$\frac{4}{7}$（2绿+2白）；
   • 第二盒非蓝球概率：$\frac{7}{9}$（3绿+4白）；
   • 对立事件概率：$\frac{4}{7} \times \frac{7}{9} = \frac{4}{9}$。
2. 求原事件概率：$1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$。

第（2）题

目标：求一蓝一白的概率。
步骤：

1. 分解为两种互斥情况：
   • 情况1：第一盒蓝，第二盒白。
     概率：$\frac{3}{7} \times \frac{4}{9} = \frac{12}{63}$。
   • 情况2：第一盒白，第二盒蓝。
     概率：$\frac{2}{7} \times \frac{2}{9} = \frac{4}{63}$。
2. 相加概率：$\frac{12}{63} + \frac{4}{63} = \frac{16}{63}$。

第（3）题

目标：已知至少一蓝，求一蓝一白的条件概率。
步骤：

1. 分子：一蓝一白的概率（第（2）题结果）$\frac{16}{63}$。
2. 分母：至少一蓝的概率（第（1）题结果）$\frac{5}{9} = \frac{35}{63}$。
3. 条件概率：$\frac{16/63}{35/63} = \frac{16}{35}$。