关于矩阵的秩的性质，下列叙述错误的是(). A P,Q为可逆矩阵， R(PAQ)=R A. B RA. =R(A^T) C R(AB)geq min{RA. ,R(B)} D 0 leq R(A_(mxn))leq minm,n

考查要点：本题主要考查矩阵秩的基本性质，需掌握矩阵秩的定义、可逆矩阵的作用、转置矩阵的秩、矩阵乘积的秩以及秩的取值范围。

解题核心思路：

1. 选项A：可逆矩阵的乘积不改变原矩阵的秩。
2. 选项B：矩阵与其转置的秩相等。
3. 选项C：矩阵乘积的秩与原矩阵秩的关系，需注意反例的存在性。
4. 选项D：矩阵秩的取值范围由矩阵的行数和列数决定。

破题关键点：

• 选项C的错误在于矩阵乘积的秩可能小于原矩阵秩的较小值，例如当两个秩为1的矩阵相乘结果为零矩阵时，其秩为0。

选项分析

选项A

若$P$和$Q$为可逆矩阵，则$R(PAQ) = R(A)$。
正确性：可逆矩阵对应的线性变换是双射，因此$PAQ$与$A$等价，秩不变。

选项B

$R(A) = R(A^T)$。
正确性：矩阵的行秩等于列秩，因此转置后秩不变。

选项C

$R(AB) \geq \min\{R(A), R(B)\}$。
错误性：反例：设$A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$，$B = \begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$，则$R(A) = R(B) = 1$，但$AB = \begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$，$R(AB) = 0 < 1$，故不成立。

选项D

$0 \leq R(A_{m \times n}) \leq \min\{m, n\}$。
正确性：矩阵的秩不超过行数和列数的较小值。